一、知識提要
1． 軌跡方程的實質：
軌跡方程的概念是軌跡方程求法的基礎，一般地，在直角座標中，如果軌跡c上的點與乙個二元方程的實數解建立了如下關係：（1）軌跡上的點的座標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為座標的點都在軌跡c上．則這個方程叫做軌跡的方程，這條軌跡叫做方程的軌跡．求軌跡方程就是求軌跡上的動點的座標所滿足的二元關係式．
2．由軌跡求方程是解析幾何的乙個基本課題，它往往需要涉及代數、三角、平面幾何、立體幾何乃至物理學等諸方面的知識．求軌跡方程的過程，既有把形轉化為數的過程，又有探索軌跡的推理論證過程．雖然教材上為了突破這一難點，對求軌跡方程的過程給出了一般性的步驟，但在實際操作中還是應因題而異，或由靜及動，或強行突破，或巧設引數，真可謂眼花繚亂，其樂無窮．
3．求軌跡方程的方法一般可分直接法和間接法兩大類．直接法一般包括：直譯法、定義法、待定係數法、幾何法等；間接法一般包括：引數法、座標轉移法（相關點法）、交軌法、設而不求法等．
4．求軌跡的各種方法不是孤立的，同乙個問題往往有幾種不同的解法，所使用的方法又可以相輔相成，其中最主要的是如何把問題轉化為我們所熟知的軌跡方程或突破「五步法」中的第二步．
5．值得強調的是，由於求軌跡方程省略了「證明」這一步驟，所以在求出「軌跡方程」時必須注意軌跡方程的完備性和純粹性．
二、常用方法解析
1．直譯法
直譯法就是直接依據教材裡總結的求曲線方程的五個步驟（建系設點、寫集合（寫關係）、代入座標列方程、化簡方程、證明作答）而求出軌跡方程的方法，故又俗稱「五步法」．用此法的題型，要求其動點所適合的條件p（關係式），容易用座標形式表達，其中證明這一步可省略，但要注意查漏除雜．
[例1]（2023年江蘇）如圖，圓與圓的半徑都是1，，過動點p分別作圓、圓的切線pm、pn（m、n為切點），使得．試建立適當的座標系，求動點p的軌跡方程．
練習：1．（2023年江蘇）已知兩點為座標平面內的動點，滿足，求動點的軌跡方程．
2．（2023年鄭州）已知兩點在y軸上的射影為h，且使與分別是公比為2的等比數列的第
三、四項．求動點p的軌跡方程．
3．（2023年廣州）設過點能作拋物線的兩條切線ma、mb，切點為a、b．
（1）求；
（2）若，求點m的軌跡方程；
（3）若為銳角，求點m所在的區域．
（提示：設切點為，寫出切線方程，點m在切線上，得到兩切點的引數t所滿足的關係式）
2．定義法
定義法就是把求軌跡方程中軌跡所滿足的條件轉化為符合某特殊曲線定義的條件，從而依該曲線的定義得出軌跡方程的方法．
[例2]根據下列條件求動圓圓心m的軌跡方程．
（1）動圓m與圓外切，與內切；
（2）動圓m與圓與都外切；
（3）動圓m與圓外切，與直線相切．
練習：4．（2023年山東）已知動圓過定點（，且與直線相切．
（1）求動圓圓心c的軌跡方程；
（2）設a、b是曲線c上異於原點o的兩個不同的點，直線oa和ob的傾斜角分別為和，當，變化且為定值時，證明直線恆過定點，並求出該定點的座標．
5．（2023年南京）在中，，且bc在x軸上，bc的中點為座標原點，如果，求頂點的軌跡．
6．（2023年江蘇）已知，o為座標原點，點m滿足．
（1）求點m的軌跡c的方程；
（2）是否存在直線過點，與軌跡c交於a、b兩點，且以ab為直徑的圓過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
3．待定係數法
所求方程是直線、圓、橢圓、又曲線、拋物線等已知曲線時，可使用待定係數法．應用此法應先根據已知條件判斷動點軌跡的型別，然後設出所求待定係數的曲線方程，最後根據其它條件確定方程的係數，從而求得軌跡方程．
[例3]如圖，在面積為18的中，ab=5，雙曲線e過點a，且以b、c為焦點，已知．
（1）建立適當的座標系，求雙曲線e的方程；
（2）是否存在過點的直線，使與雙曲
線e交於不同的兩點m、n，且，
如果存在，求出的方程；如果不存在，請說明
理由．[例3]設橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率，已知點到這個橢圓上點的最短距離為，求橢圓的方程，並求橢圓上到點p的距離為的點座標．
練習7．已知，過點a作直線交以a，b為焦點的橢圓於m，n兩點，線段mn的中點到y軸的距離為，且直線mn與圓相切，求橢圓的方程．
8．已知的面積為，且，若以o為中心，f為焦點的雙曲線經過點q，當取得最小值時，求雙曲線的方程．（提示：設）
9．已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，點是拋物線內的一定點，點p為拋物線上的一動點，且的最小值為．
（1）求拋物線的方程；
（2）若點o為座標原點，問是否存在點m，使過m的動直線交拋物線於b，c不同兩點，且，若存在，求出點m的座標，若不存在，請說明理由．
4．座標轉移法（代入法、相關點法）
若動點隨已知曲線c上的另一動點而運動，則可用去表示出即，然後將點代入曲線c的方程中，即得點p的軌跡方程．這種方法叫做座標轉移法．
[例4]已知兩點和圓的動點c，求的重心g的軌跡方程．
練習：10．（2023年上海）設p為雙曲線上一動點，o為座標原點，m為線段op的中點，求點m的軌跡方程．
11．（2023年武漢）p是橢圓上的一動點，是它的兩焦點，o為座標原點，若，求動點q的軌跡方程．
12．已知拋物線c：，f為拋物線的焦點，過點作直線交拋物線c於p、q兩點，且，求動點r的軌跡方程．
5．引數法
當動點的座標之間的關係不易發現，而通過另一變數t間接地表示之間的關係較為方便時，我們便設出這一變數t以尋求關於的軌跡方程，這種通過第三個變數間接地表示動點兩座標之間的關係，進而得到動點軌跡方程的方法就是引數法．第三變數通常稱為參變數，簡稱為引數．在具體問題中，往往以直線的斜率k，傾斜角，時間t等作為引數．
[例5]（2023年陝西）三定點；三動點滿足，，．
（1）求動直線de斜率的變化範圍；
（2）求動點m的軌跡方程．
練習：13．（2023年全國）已知橢圓的焦點為，離心率為，設橢圓在第一象限內的部分為曲線c，動點p在c上，c在p處的切線與x軸、y軸的交點分別為a、b，且向量．求
（1）動點m的軌跡方程；（2）的最小值．
14．（2023年江西）m是拋物線上的一點，動弦me、mf分別交x軸於a、b兩點，且ma=mb．
（1）若m為定點，證明直線ef的斜率為定值；
（2）若m為動點，且，求的重心的軌跡方程．
15．（2023年廣東）拋物線上異於座標原點o的兩不同點a、b滿足．
（1）求重心的軌跡方程；
（2）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．
6．幾何法
幾何法就是依據動點的幾何性質尋求動點軌跡的方法，即根據動點滿足的條件，利用平面幾何的定理，或找出直譯法中第二步所要寫出的適合條件p（m）——關係式，或直接判斷出動點的軌跡型別是某種曲線，從而求出軌跡方程的方法．
[例6]已知m是雙曲線上的一動點，f1，f2是雙曲線的兩焦點，過其中一焦點作的平分線的垂線，垂足為p，求點p的軌跡方程．
練習：16．已知點和圓，在圓上另取點b、c，使，求的垂心m的軌跡方程．
17．（2023年黃岡）已知圓，定點，為圓c上一動點，點p在am上，點n在cm上，且滿足，點n的軌跡為曲線e．
（1）求曲線e的方程；
（2）若過定點的直線交曲線e於不同的兩點g、h（點g在f、h之間），且滿足，求的取值範圍．
7．交軌法
當動點是兩條動曲線的交點時，可使用交軌法求出動點的軌跡方程，即寫出含引數的已知兩動曲線的方程或選定刻畫兩動曲線交點的同一引數，分別求出兩動曲線的引數方程，然後消去引數得到所求動點的軌跡方程的方法．（不需解交點）
[例7]（85年全國）已知兩點以及一條直線，設長為的線段ab在直線上移動，求直線pa和qb的交點m的軌跡方程．
練習：18．作橢圓長軸的垂線交橢圓於兩點，是橢圓的長軸的端點，求直線與直線交點m的軌跡方程．
19．（2023年春季全國）oa、ob是拋物線過頂點的兩條動弦，m**段ab上，且滿足．
（1）求證：直線ab過定點，並求出定點座標；
（2）求點m的軌跡方程．
8．設而不求法（兩點法）
設而不求法可以看作是多引數法的一種特殊形式，它尤其在求與斜率、弦中點等有關的軌跡方程中經常採用．
[例8]已知長為的線段的兩端點a、b均在拋物線上移動．
（1）求線段ab的中點m的軌跡方程；
（2）求中點m到y軸的最小距離．
練習：20．過點作圓的弦ab，求弦ab的中點m的軌跡方程．
21．已知長為線段的兩端點在橢圓上移動，求線段ab的中點p的軌跡方程．
22．求雙曲線以為斜率的平行弦的中點m的軌跡方程，並討論軌跡是什麼曲線．
求軌跡方程的常用方法
重點 掌握常用求軌跡方法 難點 軌跡的定型及其純粹性和完備性的討論 自主學習 知識梳理 一 求軌跡方程的一般方法 1.待定係數法 如果動點p的運動規律合乎我們已知的某種曲線 如圓 橢圓 雙曲線 拋物線 的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為...
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