經典習題1
1. 若函式的定義域為,則函式的定義域為( )
a. b. c. d.
2. 若
a．102 b．99 c．101 d．100
3. 定義r上的函式滿足：（ ）
a． b．2 c．4 d．6
4. 定義在區間（-1，1）上的減函式滿足：。若恒成立，則實數的取值範圍是
5. 已知函式是定義在(0,+∞)上的增函式,對正實數,都有:成立.則不等式的解集是
6. 已知函式是定義在（-∞，3]上的減函式，已知對恆成立，求實數的取值範圍。
7. 已知是定義在r上的不恒為零的函式,且對於任意的都滿足:.
(1)求的值;
(2)判斷的奇偶性,並證明你的結論;
(3)若, ,求數列{}的前項和.
8. 定義在r上的函式y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈r，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1） 求證：f(0)=1；
（2） 求證：對任意的x∈r，恒有f(x)>0；
（3）證明：f(x)是r上的增函式；
（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值範圍。
9. 已知函式的定義域為r,對任意實數都有,且,當時, >0.
(1)求;
(2)求和;
(3)判斷函式的單調性,並證明.
10. 函式的定義域為r,並滿足以下條件:①對任意,有》0;②對任意,有;③.
(1)求的值;
(2)求證:在r上是單調減函式;
(3)若且,求證:.
11. 已知函式的定義域為r,對任意實數都有,且當時,.
(1)證明:;
(2)證明:在r上單調遞減;
(3)設a=,b={},若 =,試確定的取值範圍.
12. 已知函式是定義域為r的奇函式,且它的圖象關於直線對稱.
(1)求的值;
(2)證明: 函式是週期函式;
(3)若求當時,函式的解析式,並畫出滿足條件的函式至少乙個週期的圖象.
13. 函式對於x>0有意義，且滿足條件減函式。
（1）證明：；
（2）若成立，求x的取值範圍。
14. 設函式在上滿足，，且在閉區間［0，7］上，只有．
（1）試判斷函式的奇偶性；
（2）試求方程=0在閉區間［-2005，2005］上的根的個數並證明你的結論
1. b
2. a
3. a
4. ,解:由得,
,得5. ；解：令，則，則………..①
∵函式是定義在(0,+∞)上的增函式
由①②得，不等式的解集為。
6. ；解：等價於
7. （1）解：令，則
令，則（2）證明：令，則，∵，∴
令，則∴是奇函式。
（3）當時，，令，則
故，所以∴∵
∴，故∴
8. （1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
（2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0時，f(x)>1>0，當x<0時，-x>0，f(-x)>0
∴又x=0時，f(0)=1>0
∴對任意x∈r，f(x)>0
(3)任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在r上是增函式
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，
f(x)在r上遞增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 09. 8.（1）解：令，則
（2）∵
∴∴數列是以為首項,1為公差的等差數列,故
== (3)任取,則
∴∴函式是r上的單調增函式.
10. 9.(1)解: ∵對任意,有》0, ∴令得,
(2)任取任取,則令,故
∵函式的定義域為r,並滿足以下條件:①對任意,有》0;②對任意,有;③∴∴
∴函式是r上的單調減函式.
(3) 由（1）（2）知，，∴
∵∴，而∴∴
11. (1)證明:令,則
∵當時, ,故,∴,∵當時,
∴當時, ,則
(2)證明: 任取,則
∵,∴0<,故<0,又∵
∴,故∴函式是r上的單調減函式.
(3) ∵
由（2）知，是r上的減函式，∴
∵b={}=
又∵，∴方程組無解，即直線的內部無公共點
∴，故的取值範圍是-
12. (1)解:∵為r上的奇函式, ∴對任意都有,令則
∴=0(2)證明: ∵為r上的奇函式, ∴對任意都有,
∵的圖象關於直線對稱, ∴對任意都有,
∴ 用代得,
∴,即∴是週期函式,4是其週期.
(3)當時，
當時，，
當時，，
∴圖象如下：y
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6x
13. (1)證明：令，則，故
（2）∵，令，則， ∴
∴成立的x的取值範圍是。
14. 解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函式的對稱軸為,
從而知函式不是奇函式,
由 ,從而知函式的週期為
又,故函式是非奇非偶函式;
(2)由
又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個解,從而可知函式在[0,2005]上有402個解,在[-2005.0]上有400個解,所以函式在[-2005,2005]上有802個解.
經典習題2
1. 定義在r上的函式y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈r，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（3） 求證：f(0)=1；
（4） 求證：對任意的x∈r，恒有f(x)>0；
（3）證明：f(x)是r上的增函式；
（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值範圍。
解 （1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
（2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0時，f(x)>1>0，當x<0時，-x>0，f(-x)>0
∴又x=0時，f(0)=1>0
∴對任意x∈r，f(x)>0
(3)任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在r上是增函式
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，
f(x)在r上遞增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 02. 已知函式,在r上有定義，對任意的有且
（1）求證：為奇函式
（2）若， 求的值
解（1）對，令x=u-v則有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)-
g(u)f(v)]=-f(x
（2）f(2)=f=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)
∵f(2)=f(1)≠0
∴g(-1)+g(1)=1
3. 已知函式對任意實數恒有且當x＞0，
(1)判斷的奇偶性；
(2)求在區間[－3,3]上的最大值；
(3)解關於的不等式
解（1）取則
取對任意恆成立 ∴為奇函式.
（2）任取， 則
又為奇函式
∴在（－∞，+∞）上是減函式.
對任意，恒有
而∴在[－3，3]上的最大值為6
（3）∵為奇函式，∴整理原式得
進一步可得
而在（－∞，+∞）上是減函式，
當時，當時，當時，當時,當a>2時，
4. 已知f(x)在(－1，1)上有定義，f()＝－1，且滿足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()
⑴證明：f(x)在(－1，1)上為奇函式；
⑵對數列x1＝，xn＋1＝，求f(xn);
⑶求證(ⅰ)證明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0
令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0
∴f(x)＋f(－x)＝0 ∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)為奇函式
(ⅱ)解：f(x1)＝f()＝－1，f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn)
∴＝2即是以－1為首項，2為公比的等比數列
∴f(xn)＝－2n－1
(ⅲ)解： 而
∴ 6.已知函式的定義域為，且同時滿足：
(1)對任意，總有；
(2)(3)若且，則有.
()求的值；
()求的最大值；
()設數列的前項和為，且滿足.
求證：.
解：（）令，由(3),則
由對任意，總有
（）任意且，則
() ，即。
故即原式成立
7. 對於定義域為的函式，如果同時滿足以下三條：①對任意的，總有；②；③若，都有成立，則稱函式為理想函式．
(1) 若函式為理想函式，求的值；
(2)判斷函式是否為理想函式，並予以證明；
(3) 若函式為理想函式，假定，使得，且，求證．
解：（1）取可得．
又由條件①，故．
（2）顯然在[0，1]滿足條件①；-
也滿足條件②．
若，，，則
，即滿足條件③，
故理想函式．
（3）由條件③知，任給、[0，1]，當時，由知[0，1]，
若，則，前後矛盾；
若，則，前後矛盾．
故 8.已知定義在r上的單調函式,存在實數,使得對於任意實數,總有恆成立。
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)若,且對任意正整數,有, ,求數列的通項公式；
(ⅲ)若數列滿足，將數列的項重新組合成新數列，具體法則如下： ……，求證：。
解：(ⅰ)令，得，①
令，得，，②
由①、②得，又因為為單調函式，
(ⅱ)由（1）得，，，，
(ⅲ)由的構成法則可知，cn應等於中的n項之和，其第一項的項數為
[1+2+…+(n－1)]+1=+1，即這一項為2×[+1]－1=n(n－1)+1
cn=n(n－1)+1+n(n－1)+3+…+n(n－1)+2n－1=n2(n－1)+ =n3
當時，解法2：
9.設函式是定義域在上的單調函式，且對於任意正數有，已知.
抽象函式習題
含有函式記號 有關問題解法 由於函式概念比較抽象，學生對解有關函式記號的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函式概念的理解，更好地掌握函式的性質，培養靈活性 提高解題能力，優化學生數學思維素質。現將常見解法及意義總結如下 一 求表示式 1.換元法 即用中間變數表示原自變數的代數式，從而求出，這...
抽象函式總結
抽象函式 1.函式f x 具有奇偶性的必要 非充分 條件是什麼？f x 定義域關於原點對稱 注意如下結論 1 在公共定義域內 兩個奇函式的乘積是偶函式 兩個偶函式的乘積是偶函式 乙個偶函式與奇函式的乘積是奇函式。2.你熟悉週期函式的定義嗎？函式，t是乙個週期。如 3.你掌握常用的圖象變換了嗎？注意如...
7 抽象函式總結
知識精要 抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，只給出了一些體現函式特徵的式子的一類函式。由於抽象函式表現形式的抽象性，使得這類問題成為函式內容的難點之一.抽象性較強，靈活性大,解抽象函式重要的一點要抓住函式中的某些性質，通過區域性性質或圖象的區域性特徵，利用常規數學思想方法 如化歸法 數形結合法等...