知識精要：抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，只給出了一些體現函式特徵的式子的一類函式。由於抽象函式表現形式的抽象性，使得這類問題成為函式內容的難點之一.
抽象性較強，靈活性大,解抽象函式重要的一點要抓住函式中的某些性質，通過區域性性質或圖象的區域性特徵，利用常規數學思想方法（如化歸法、數形結合法等），這樣就能突破「抽象」帶來的困難，做到胸有成竹.另外還要通過對題目的特徵進行觀察、分析、模擬和聯想，尋找具體的函式模型，再由具體函式模型的圖象和性質來指導我們解決抽象函式問題的方法。常見的特殊模型:
由於函式概念比較抽象，學生對解有關函式記號的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函式概念的理解，更好地掌握函式的性質，培養靈活性；提高解題能力，優化學生數學思維素質。現將常見解法及意義總結如下：
一、求表示式：
1.換元法：即用中間變數表示原自變數的代數式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養學生的靈活性及變形能力。
例1：已知,求.
解：設,則∴∴
2.湊合法：在已知的條件下，把並湊成以表示的代數式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進一步複習代換法。
例2：已知，求
解：∵又∵
∴，(||≥1)
3.待定係數法：先確定函式型別，設定函式關係式，再由已知條件，定出關係式中的未知係數。
例3． 已知二次實函式，且+2+4,求.
解:設=，則
=比較係數得∴
4.利用函式性質法:主要利用函式的奇偶性,求分段函式的解析式.
例4.已知=為奇函式,當 >0時, ,求
解:∵為奇函式，∴的定義域關於原點對稱，故先求<0時的表示式。∵->0,∴,
∵為奇函式，∴∴當<0時∴
例5．一已知為偶函式，為奇函式，且有+， 求,.
解：∵為偶函式，為奇函式，∴, ,
不妨用-代換+= ………①中的,
∴即－……②
顯見①+②即可消去,求出函式再代入①求出
5.賦值法：給自變數取特殊值，從而發現規律，求出的表示式
例6：設的定義域為自然數集，且滿足條件,及=1,求
解：∵的定義域為n，取=1,則有
∵=1,∴=+2,……
以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴
二、利用函式性質，解的有關問題
1.判斷函式的奇偶性：
例7 已知,對一切實數、都成立，且,求證為偶函式。
證明：令=0, 則已知等式變為……①
在①中令=0則2=2∵≠0∴=1∴∴∴為偶函式。
2.確定引數的取值範圍
例8：奇函式在定義域（-1，1）內遞減，求滿足的實數的取值範圍。
解：由得，∵為函式，∴
又∵在（-1，1）內遞減，∴
3.解不定式的有關題目
例9：如果=對任意的有,比較的大小
解：對任意有∴=2為拋物線=的對稱軸
又∵其開口向上∴(2)最小， (1)= (3)∵在［2，＋∞)上，為增函式
∴(3)< (4),∴(2)< (1)< (4)
三、五類抽象函式解法
1、線性函式型抽象函式
線性函式型抽象函式，是由線性函式抽象而得的函式。
例10、已知函式f（x）對任意實數x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區間[－2，1]上的值域。
分析：由題設可知，函式f（x）是的抽象函式，因此求函式f（x）的值域，關鍵在於研究它的單調性。
解：設，∵當，∴，
∵，∴，即，∴f（x）為增函式。
在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y＝0，則f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函式，
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，
∴ f（x）的值域為［－4，2］。
例11、已知函式f（x）對任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且當x＞0時，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由題設條件可猜測：f（x）是y＝x＋2的抽象函式，且f（x）為單調增函式，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函式符號，從而可求得不等式的解。 解：設，∵當，∴，則，
即，∴f（x）為單調增函式。 ∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解為－1 < a < 3。
2、指數函式型抽象函式
例12、設函式f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：
（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。
分析：由題設可猜測f（x）是指數函式的抽象函式，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：（1）令y＝0代入，則，∴
。若f（x）＝0，則對任意，有，這與題設矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，則，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對任意x，f（x）＞0恆成立。
例13、是否存在函式f（x），使下列三個條件：①f（x）＞0，x ∈n；②；③f（2）＝4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。
分析：由題設可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜測存在函式，用數學歸納法證明如下：
（1）x＝1時，∵，又∵x ∈n時，f（x）＞0，∴，結論正確。
（2）假設時有，則x＝k＋1時，，∴x＝k＋1時，結論正確。
綜上所述，x為一切自然數時。
3、對數函式型抽象函式
對數函式型抽象函式，即由對數函式抽象而得到的函式。
例14、設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函式，滿足，求：
（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值範圍。
分析：由題設可猜測f（x）是對數函式的抽象函式，f（1）＝0，f（9）＝2。
解：（1）∵，∴f（1）＝0。
（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函式，故
，解之得：8＜x≤9。
例15、設函式y＝f（x）的反函式是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那麼g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由。
分析: 由題設條件可猜測y＝f（x）是對數函式的抽象函式，又∵y＝f（x）的反函式是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數函式的抽象函式，於是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正確。
解：設f（a）＝m，f（b）＝n，由於g（x）是f（x）的反函式，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
4、三角函式型抽象函式
三角函式型抽象函式即由三角函式抽象而得到的函式。
例16、己知函式f（x）的定義域關於原點對稱，且滿足以下三條件：
①當是定義域中的數時，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的乙個數）；
③當0＜x＜2a時，f（x）＜0。
試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的單調性如何？說明理由。
分析: 由題設知f（x）是的抽象函式，從而由及題設條件猜想：f（x）是奇函式且在（0，4a）上是增函式（這裡把a看成進行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定義域關於原點對稱，且是定義域中的數時有
，∴在定義域中。∵
，∴f（x）是奇函式。
（2）設0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小於零，進而知中的，於是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函式。
又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，
，於是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大於零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函式。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函式。
5、冪函式型抽象函式
冪函式型抽象函式，即由冪函式抽象而得到的函式。
例17、已知函式f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當時，。
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在［0，＋∞）上的單調性，並給出證明；
（3）若，求a的取值範圍。
分析：由題設可知f（x）是冪函式的抽象函式，從而可猜想f（x）是偶函式，且在［0，＋∞）上是增函式。
解：（1）令y＝－1，則f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）為偶函式。
（2）設，∴，，
∵時，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函式。
（3）∵f（27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，又，故。
四、抽象函式常見題型解法綜述
抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，只給出了一些體現函式特徵的式子的一類函式。由於抽象函式表現形式的抽象性，使得這類問題成為函式內容的難點之一。就抽象函式常見題型及解法評析如下：
1、定義域問題
例18. 已知函式的定義域是［1，2］，求f(x)的定義域。
解：的定義域是［1，2］，是指，所以中的滿足
從而函式f(x)的定義域是［1，4］
評析：一般地，已知函式的定義域是a，求f(x)的定義域問題，相當於已知中x的取值範圍為a，據此求的值域問題。
例19. 已知函式的定義域是，求函式的定義域。
解：的定義域是，意思是凡被f作用的物件都在中，由此可得
所以函式的定義域是
評析：這類問題的一般形式是：已知函式f(x)的定義域是a，求函式的定義域。
正確理解函式符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵。這類問題實質上相當於已知的值域b，且，據此求x的取值範圍。例2和例1形式上正相反。
抽象函式總結
抽象函式 1.函式f x 具有奇偶性的必要 非充分 條件是什麼？f x 定義域關於原點對稱 注意如下結論 1 在公共定義域內 兩個奇函式的乘積是偶函式 兩個偶函式的乘積是偶函式 乙個偶函式與奇函式的乘積是奇函式。2.你熟悉週期函式的定義嗎？函式，t是乙個週期。如 3.你掌握常用的圖象變換了嗎？注意如...
抽象函式習題
含有函式記號 有關問題解法 由於函式概念比較抽象，學生對解有關函式記號的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函式概念的理解，更好地掌握函式的性質，培養靈活性 提高解題能力，優化學生數學思維素質。現將常見解法及意義總結如下 一 求表示式 1.換元法 即用中間變數表示原自變數的代數式，從而求出，這...
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經典習題1 1.若函式的定義域為,則函式的定義域為 a.b.c.d.2.若 a 102 b 99 c 101 d 100 3.定義r上的函式滿足 a b 2 c 4 d 6 4.定義在區間 1，1 上的減函式滿足 若恒成立，則實數的取值範圍是 5.已知函式是定義在 0,上的增函式,對正實數,都有 成...