一、定義域問題
例1. 已知函式的定義域是［1，2］，求f(x)的定義域。
評析：一般地，已知函式的定義域是a，求f(x)的定義域問題，相當於已知中x的取值範圍為a，據此求的值域問題。
例2. 已知函式的定義域是，求函式的定義域。
評析：這類問題的一般形式是：已知函式f(x)的定義域是a，求函式的定義域。
正確理解函式符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵。這類問題實質上相當於已知的值域b，且，據此求x的取值範圍。例2和例1形式上正相反。
二、求值問題
例3. 已知定義域為的函式f(x)，同時滿足下列條件：①；②，求f(3)，f(9)的值。
評析：通過觀察已知與未知的聯絡，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。
三、值域問題
例4. 設函式f(x)定義於實數集上，對於任意實數x、y，總成立，且存在，使得，求函式的值域。
評析：在處理抽象函式的問題時，往往需要對某些變數進行適當的賦值，這是一般向特殊轉化的必要手段。
四、解析式問題
例5. 設對滿足的所有實數x，函式滿足，求f(x)的解析式。
評析：如果把x和分別看作兩個變數，怎樣實現由兩個變數向乙個變數的轉化是解題關鍵。通常情況下，給某些變數適當賦值，使之在關係中「消失」，進而保留乙個變數，是實現這種轉化的重要策略。
五、單調性問題
例6. 設f(x)定義於實數集上，當時，，且對於任意實數x、y，有，求證：在r上為增函式。
評析：一般地，抽象函式所滿足的關係式，應看作給定的運算法則，則變數的賦值或變數及數值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關係式及所求的結果相關聯。
六、奇偶性問題
例7. 已知函式對任意不等於零的實數都有，試判斷函式f(x)的奇偶性。
七、對稱性問題
例8. 已知函式滿足，求的值。
評析：這是同乙個函式圖象關於點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設a、b均為常數，函式對一切實數x都滿足，則函式的圖象關於點（a，b）成中心對稱圖形。
八、網路綜合問題
例9. 定義在r上的函式f(x)滿足：對任意實數m，n，總有，且當x>0時，0（1）判斷f(x)的單調性；
（2）設，
，若，試確定a的取值範圍。
評析：（1）要討論函式的單調性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)>0的結論。
這是解題的關鍵性步驟，完成這些要在抽象函式式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯想模擬思維都有助於問題的思考和解決。
參***：
例1.解：的定義域是［1，2］，是指，所以中的滿足
從而函式f(x)的定義域是［1，4］
例2.解：的定義域是，意思是凡被f作用的物件都在中，由此可得
所以函式的定義域是
例3.解：取，得
因為，所以又取得
例4. 解：令，得，即有或。
若，則，對任意均成立，這與存在實數，使得成立矛盾，故，必有。
由於對任意均成立，因此，對任意，有
下面來證明，對任意
設存在，使得，則
這與上面已證的矛盾，因此，對任意
所以例5. 解：在中以代換其中x，得：
再在(1)中以代換x，得
化簡得：
例6. 證明：在中取，得
若，令，則，與矛盾
所以，即有
當時，；當時，而所以
又當時，
所以對任意，恒有
設，則所以
所以在r上為增函式。
例7.解：取得：，所以
又取得：，所以
再取則，即
因為為非零函式，所以為偶函式。
例8.解：已知式即在對稱關係式中取，所以函式的圖象關於點（0，2002）對稱。根據原函式與其反函式的關係，知函式的圖象關於點（2002，0）對稱。
所以將上式中的x用代換，得
例9.解：（1）在中，令，得，因為，所以。
在中，令
因為當時，
所以當時而所以
又當x=0時，，所以，綜上可知，對於任意，均有。
設，則所以
所以在r上為減函式。
（2）由於函式y=f(x)在r上為減函式，所以
即有又，根據函式的單調性，有
由，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得。
抽象函式常見題型解法
抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，只給出了一些體現函式特徵的式子的一類函式。由於抽象函式表現形式的抽象性，使得這類問題成為函式內容的難點之一.抽象性較強，靈活性大,解抽象函式重要的一點要抓住函式中的某些性質，通過區域性性質或圖象的區域性特徵，利用常規數學思想方法 如化歸法 數形結合法等 這樣就能...
抽象函式常見題型解法學生版
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抽象函式的型別與解法
廣州市黃埔區教育局教研室曾辛金 1.正比例函式型的抽象函式 例1已知函式f x 對任意實數x y均有f x y f x f y 且當x 0時，f x 0，f 1 2求f x 在區間 2,1 上的值域.分析 先證明函式f x 在r上是增函式 注意到f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x...