廣州市黃埔區教育局教研室曾辛金
1. 正比例函式型的抽象函式
例1已知函式f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在區間[－2,1]上的值域.
分析：先證明函式f（x）在r上是增函式（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根據區間求其值域.
例2已知函式f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.
分析：先證明函式f（x）在r上是增函式（仿例1）；再求出f（1）＝3；最後脫去函式符號.
2. 冪函式型的抽象函式
例3已知函式f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當0≤x＜1時，f（x）∈[0，1].
（1） 判斷f（x）的奇偶性；
（2） 判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調性，並給出證明；
（3） 若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值範圍.
分析：（1）令y＝－1；
（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；
（3）0≤a≤2.
3. 指數函式型的抽象函式
例4設函式f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1） f（0）；
（2） 對任意值x，判斷f（x）值的符號.
分析：（1）令y＝0；（2）令y＝x≠0.
例5是否存在函式f（x），使下列三個條件：①f（x）>0,x∈n；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈n；③f（2）＝4.同時成立？
若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.
分析：先猜出f（x）＝2x；再用數學歸納法證明.
3. 對數函式型的抽象函式
例6設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函式，滿足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1） f（1）；
（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值範圍.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函式的單調性和已知關係式.
例7設函式y＝ f（x）的反函式是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那麼g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由.
分析：設f（a）＝m，f（b）＝n，則g（m）＝a，g（n）＝b，
進而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….
4. 三角函式型的抽象函式
例8已知函式f（x）的定義域關於原點對稱，且滿足以下三個條件：
1 x1、x2是定義域中的數時，有f（x1－x2）＝；
2 f（a）＝ －1（a＞0，a是定義域中的乙個數）；
3 當0＜x＜2a時，f（x）＜0.
試問：（1） f（x）的奇偶性如何？說明理由；
（2） 在（0，4a）上，f（x）的單調性如何？說明理由.
分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函式；
（3） 先證明f（x）在（0，2a）上是增函式，再證明其在（2a，4a）上也是增函式.
對於抽象函式的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函式問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函式.因此，針對不同的函式要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函式問題.
例9已知函式f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1） 求證：f（1）＝f（－1）＝0；
（2） 求證：f（x）為偶函式；
（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函式，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.
分析：函式模型為：f（x）＝loga|x|（a＞0）
（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；
（2） 令y＝ －1；
（3） 由f（x）為偶函式，則f（x）＝f（|x|）.
例10已知函式f（x）對一切實數x、y滿足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，求證：
（1） 當x＞0時，0＜f（x）＜1；
（2） f（x）在x∈r上是減函式.
分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；
（3） 受指數函式單調性的啟發：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，
進而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.
總之，因為抽象函式與函式的單調性、奇偶性等眾多性質聯絡緊密，加上本身的抽象性、多變性，所以問題型別眾多，解題方法複雜多變.儘管如此，以特殊模型代替抽象函式幫助解題或理解題意，是一種行之有效的教學方法，它能解決中學數學中大多數抽象函式問題.這樣做符合學生的年齡特徵和認知水平，學生不僅便於理解和接受，感到實在可靠，而且能使學生展開豐富的想象，以解決另外的抽象函式問題.
練習題：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）對任意實數x、y都成立，則（ ）
（a）f（0）＝0b）f（0）＝1
（c）f（0）＝0或1d）以上都不對
2. 若對任意實數x、y總有f（xy）＝f（x）＋f（y），則下列各式中錯誤的是（ ）
（a）f（1）＝0b）f（）＝ f（x）
（c）f（）＝ f（x）－f（y） （d）f（xn）＝nf（x）（n∈n）
3.已知函式f（x）對一切實數x、y滿足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，則當x＞0時，f（x）的取值範圍是（ ）
（a）（1b）（－∞，1）
（c）（0，1d）（－1，＋∞）
4.函式f（x）定義域關於原點對稱，且對定義域內不同的x1、x2都有
f（x1－x2）＝，則f（x）為（ ）
（a）奇函式非偶函式b）偶函式非奇函式
（c）既是奇函式又是偶函式 （d）非奇非偶函式
5.已知不恒為零的函式f（x）對任意實數x、y滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，則函式f（x）是（ ）
（a）奇函式非偶函式b）偶函式非奇函式
（c）既是奇函式又是偶函式 （d）非奇非偶函式
1．a2．b
3．c4．a5．b
抽象函式常見題型解法
抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，只給出了一些體現函式特徵的式子的一類函式。由於抽象函式表現形式的抽象性，使得這類問題成為函式內容的難點之一.抽象性較強，靈活性大,解抽象函式重要的一點要抓住函式中的某些性質，通過區域性性質或圖象的區域性特徵，利用常規數學思想方法 如化歸法 數形結合法等 這樣就能...
抽象函式常見題型解法綜述
一 定義域問題 例1.已知函式的定義域是 1，2 求f x 的定義域。評析 一般地，已知函式的定義域是a，求f x 的定義域問題，相當於已知中x的取值範圍為a，據此求的值域問題。例2.已知函式的定義域是，求函式的定義域。評析 這類問題的一般形式是 已知函式f x 的定義域是a，求函式的定義域。正確理...
抽象函式常見題型解法學生版
抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，只給出了一些體現函式特徵的式子的一類函式。由於抽象函式表現形式的抽象性，使得這類問題成為函式內容的難點之一.抽象性較強，靈活性大,解抽象函式重要的一點要抓住函式中的某些性質，通過區域性性質或圖象的區域性特徵，利用常規數學思想方法 如化歸法 數形結合法等 這樣就能...