抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，只給出了一些體現函式特徵的式子的一類函式。由於抽象函式表現形式的抽象性，使得這類問題成為函式內容的難點之一.抽象性較強，靈活性大,解抽象函式重要的一點要抓住函式中的某些性質，通過區域性性質或圖象的區域性特徵，利用常規數學思想方法（如化歸法、數形結合法等），這樣就能突破「抽象」帶來的困難，做到胸有成竹.
另外還要通過對題目的特徵進行觀察、分析、模擬和聯想，尋找具體的函式模型，再由具體函式模型的圖象和性質來指導我們解決抽象函式問題的方法。常見的特殊模型:
目錄：一.定義域問題
二、求值問題
三、值域問題
四、解析式問題
五、單調性問題
六、奇偶性問題
七、週期性與對稱性問題
八、綜合問題
一.定義域問題多為簡單函式與復合函式的定義域互求。
例1.若函式y = f（x）的定義域是[－2，2]，則函式y = f（x+1）+f（x－1）的定義域為 。
評析：已知f(x)的定義域是a，求的定義域問題，相當於解內函式的不等式問題。
練習：已知函式f(x)的定義域是，求函式的定義域。
例2：已知函式的定義域為[3，11]，求函式f(x)的定義域 。
評析： 已知函式的定義域是a，求函式f(x)的定義域。相當於求內函式的值域。
練習：定義在上的函式f(x)的值域為，若它的反函式為f-1(x)，則y=f-1(2-3x)的定義域為
，值域為 。
二、求值問題-----抽象函式的性質是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決。怎樣賦值?需要明確目標,細心研究,反覆試驗;
例3.①對任意實數x,y，均滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,則f(2001
②r上的奇函式y=f(x)有反函式y=f-1(x),由y=f(x+1)與y=f-1(x+2)互為反函式，則f(2009)= .
例4.已知f(x)是定義在r上的函式，f(1)=1,且對任意x∈r都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(20021
練習： 1. f(x)的定義域為，對任意正實數x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，則 （ ）2. 。
3、對任意整數函式滿足：，若，則
a.-1b.1c. 19d. 43
4、函式f(x)為r上的偶函式，對都有成立，若，則=（ ）
a . 2005b. 2c.1d.0
5、定義在r上的函式y=f(x)有反函式y=f-1(x)，又y=f(x)過點（2，1），y=f(2x)的反函式為y=f-1(2x)，則y=f-1(16)為（ ）
abc）8 d）16
三、值域問題
例4.設函式f(x)定義於實數集上，對於任意實數x、y，f(x+y)=f(x)f(y)總成立，且存在,使得，求函式f(x)的值域。
四、解析式問題（換元法，解方程組，待定係數法，遞推法，區間轉移法，
例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)
例6、設對滿足x≠0,x≠1的所有實數x，函式f(x)滿足, ,求f(x)的解析式。
小結：通過解方程組的方法可求表示式。怎樣實現由兩個變數向乙個變數的轉化是解題關鍵。通常，給某些變數適當賦值，使之在關係中「消失」，進而保留乙個變數，是實現這種轉化的重要策略。
例7.已知f(x)是多項式函式，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).
小結：如果抽象函式的型別是確定的，則可用待定係數法來解答有關抽象函式的問題。
例8.是否存在這樣的函式f(x),使下列三個條件:
①f(n)>0,n∈n; ②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈n*;
③f(2)=4同時成立?若存在,求出函式f(x)的解析式；若不存在，說明理由.
小結：對於定義在正整數集n*上的抽象函式,用數列中的遞推法來**，如果給出的關係式具有遞推性，也常用遞推法來求解.
a． b． c． d．
小結：利用函式的週期性和對稱性把未知區間轉移到已知區間，利用已知區間的表示式求未知區間的表示式，是求解析式中常用的方法。
練習：1、
2.（2006重慶）已知定義域為r的函式f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
（ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；
（ⅱ）設有且僅有乙個實數x0，使得f(x0)=x0，求函式f(x)的解析表示式。
3、函式f(x)對一切實數x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值；
（2）對任意的，，都有f(x1)+2方法提煉怎樣賦值?需要明確目標,細心研究,反覆試驗;(2)小題中實質是不等式恆成立問題.
五、單調性問題 （抽象函式的單調性多用定義法解決）
例10.設函式f(x)對任意實數x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)
在[-3，3]上的最大值和最小值.
練習：設f(x)定義於實數集上，當x>0時，f(x)>1,且對於任意實數x、y，有f(x+y)=f(x)f(y求證：f(x)在r上為增函式。
例11、已知偶函式f(x)的定義域是x≠0的一切實數，對定義域內的任意x1,x2都有，且當時，
（1）f(x)在(0,+∞)上是增函式； （2）解不等式
練習：已知函式f(x)的定義域為r，且對m、n∈r,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,當x>－時，f(x)>0.求證：f(x)是單調遞增函式；
例12、定義在r+上的函式f(x)滿足: ①對任意實數m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1.
(1)求證:f(xy)=f(x)+f(y)對任意正數x,y都成立2)證明f(x)是r+上的單調增函式;
(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值範圍.
練習2、 定義在r上的函式y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a、b∈r，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求證：f（0）=12）求證：對任意的x∈r，恒有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）是r上的增函式；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值範圍.
關鍵點注：解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是（3）中「f（x2）=f［（x2－x1）+x1］」是證明單調性的關鍵，這裡體現了向條件化歸的策略
練習3.設f（x）是定義在r上的奇函式，且對任意a，b，當a+b≠0，都有＞0
（1）.若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小；
（2）.若f（k0對x∈ [－1，1]恆成立，求實數k的取值範圍。
練習4、已知函式f(x)對任何正數x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,當x>1時,f(x)<1.
試判斷f(x)在(0,+∞)上的單調性,並說明理由.
六、奇偶性問題
例13. （1）已知函式f(x)(x≠0的實數)對任意不等於零的實數x、y都有f(x﹒y)=f(x)+f(y)，試判斷函式f(x)的奇偶性。
（2）已知y=f(2x+1)是偶函式，則函式y=f(2x)的圖象的對稱軸是（ ）
注：若由奇偶性的定義看復合函式，一般用乙個簡單函式來表示復合函式，化繁為簡。f（x）=f(2x+1)為偶函式，則f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)關於x=1對稱。
例14：已知函式f(x)的定義域關於原點對稱且滿足，（2）存在正常數a，使f(a)=1.求證：f(x)是奇函式。
例15：設是定義在上的偶函式，且在上是增函式，又。求實數的取值範圍。
（設計理由：此類題源於變數與單調區間的分類討論問題，所以本題彈性較大，可以作一些條件變換如：等；也可將定義域作一些調整）
例16：定義在r上的單調函式f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈r都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求證f(x)為奇函式；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈r恆成立，求實數k的取值範圍．
練習：1、已知f(x)是定義在r上的不恒為零的函式，且對於任意的函式a,b都滿足f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0)，f(1)的值2)判斷f(x)的奇偶性,並證明你的結論;
(3)若f(2)=2,un=f(2n) (n∈n*),求證:un+1>un (n∈n*).
2.定義域為r的函式f(x)滿足：對於任意的實數x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當x＞0時f(x)＜0恆成立.
(1)判斷函式f(x)的奇偶性，並證明你的結論；
抽象函式常見題型解法
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抽象函式常見題型解法綜述
一 定義域問題 例1.已知函式的定義域是 1，2 求f x 的定義域。評析 一般地，已知函式的定義域是a，求f x 的定義域問題，相當於已知中x的取值範圍為a，據此求的值域問題。例2.已知函式的定義域是，求函式的定義域。評析 這類問題的一般形式是 已知函式f x 的定義域是a，求函式的定義域。正確理...
抽象函式專題複習 學生版
函式是高中數學的核心內容，一直是高考重要考查物件.其中沒有明確給出函式解析式的函式即抽象函式就是乙個很好的載體.近幾年來，各地高考題中有加強考查力度的趨勢，現結合例題談談抽象函式的解題策略.一 求函式值 例1 已知偶函式對任意恒有成立，求的值.考點演練 1.定義在r上的函式具有下述性質 對於均有 對...