1.4函式的週期性
1.4.1 定義：
對於函式y=f(x),如果存在乙個不為零的常數t，使得當x取定義域內的每乙個值時，f(x+t)=f(x)都成立，那麼就把函式y=f(x)叫做週期函式，t叫做函式的週期.
1.4.2求函式週期性方法
1.4.2.1 換元法
重要結論：
1、，則是以為週期的週期函式。
2.若函式y=f(x)滿足,則f(x)是以為週期的週期函式。
3.若函式滿足，則是以為週期的週期函式。
4.若函式滿足,則是以為週期的週期函式。
5．若函式滿足，則是以為週期的週期函式。
6.若函式滿足，則是以為週期的週期函式。
7.若函式滿足，則是以為週期的週期函式。
例1.（2009江西卷文）已知函式是上的偶函式，若對於，都有，且當時，，則的值為（ ）
a． b． c． d．
例2.（2023年安徽卷）函式對於任意實數滿足條件，若則
例3.定義在r上的偶函式滿足對所有的實數都成立，且在上單調遞增，，，，則下列不等式成立的是（ ）
a. b. c. d.
例4.已知定義在r上的奇函式，滿足,且在區間[0,2]上是增函式,則
ab.cd.
例5.(2009山東卷理)已知定義在r上的奇函式，滿足,且在區間[0,2]上是增函式,若方程f(x)=m(m>0)在區間上有四個不同的根,則
變式題：
1.已知函式是定義在r上的奇函式，且對任意，都有，若，
則2.已知是定義在實數集上的函式，且，求的值.
3.已知在r上是奇函式，且滿足當時，，則=
a.－2b.2c.－98d.98
4.函式滿足，若，則
a.13b.2cd.
5.偶函式在內可導，且，，則曲線在點
（-5，）處切線的斜率為（ ）
a.2 b.-2 c.1 d.-1
1.4.2.2迭代法
重要結論：
１．若函式的影象關於直線都對稱,則是週期為的週期函式。
2．函式的圖象關於兩點、都對稱，則函式是週期為週期函式。
3.函式的圖象關於和直線都對稱，則函式是週期為的週期函式。
例1.設f(x)是定義在r上的函式，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（ ）
a．偶函式，又是週期函式 b．偶函式，但不是週期函式
c．奇函式，又是週期函式 d．奇函式，但不是週期函式
例2.（2010全國卷ⅰ理）函式的定義域為r，若與都是奇函式，則
a.是偶函式b.是奇函式
cd.是奇函式
1. 抽象函式
2.1對稱性：
重要結論：
1.若，則的圖象關於直線對稱。
推論1： 的圖象關於直線對稱
推論2、 的圖象關於直線對稱
推論3、 的圖象關於直線對稱
2.若，則的圖象關於點對稱。
推論1、 的圖象關於點對稱
推論2、 的圖象關於點對稱
推論3、的圖象關於點對稱
經典例題：
1.設是定義在上的偶函式，其圖象關於直線對稱。對任意都有。
（i）設求；
（ii）證明是週期函式。
2.已知函式是定義域為r的奇函式,且它的圖象關於直線對稱.
(1)求的值;
(2)證明: 函式是週期函式;
3.已知f(x)是定義在r上的函式，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，
求在區間[－2013，2013]上f(x)=0至少有幾個根？
變式題：
1．設f(x)是定義在r上的奇函式,且y=f(x)的圖象關於直線對稱,則 。
2.2週期性：
經典例題：
1.定義在r上的函式f（x）對任意實數a、b都有f（a+b）+ f（a－b）=2 f（a）·f（b）成立，且。
（1）求f（0）的值； （2）試判斷f（x）的奇偶性；
（3）若存在常數c>0使，試問f（x）是否為週期函式？若是，指出它的乙個週期；若不是，請說明理由。
變式題：
1.設函式是定義在上的奇函式，對於任意的，都有，
當≤時，，則
2.已知函式是定義在r上的奇函式且對任意都有成立，則的值為（ ）
a.0b.1 c.-1d.2
3.已知偶函式是以為週期的週期函式，且當時，，則
的值為（ ）
4．已知是定義在r上的偶函式，f(x)= f(4-x)，且當時，f(x)=－2x+1，則當時求f(x)的解析式
5．函式在定義域r內可導，若，且當時，，設。則( )學科網
a． b． c． d．學科網
６．已知是定義在r上的奇函式，若的最小正週期為3，則m的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
7．奇函式f(x)為滿足，且，則
a. 1 b. -1 c. 2 d . -2
８．已知函式滿足，求的值。
９．(山東省博興二中高三第三次月考)已知函式f（x）的定義域為，且對於定義域內的任何x、y，有f（x y） =成立，且f（a） = 1（a為正常數），當0 < x < 2a時，f（x） > 0．（i）判斷f（x）奇偶性；（ii）證明f（x）為週期函式；
10．已知集合是滿足下列性質的函式的全體, 存在非零常數, 對任意, 有成立.
(1) 函式是否屬於集合? 說明理由;
(2) 設, 且, 已知當時, , 求當時, 的解析式.
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