第五講函式的奇偶性、週期性
一、知識回顧
1、奇偶性
1）定義：如果對於f(x)定義域內的任意乙個x：
若那麼函式f(x)就叫偶函式；
若那麼函式f(x)就叫奇函式。
2）奇、偶函式的必要條件：函式的定義域在數軸上所示的區間關於原點對稱。
若函式為奇函式，且在x=0處有定義，則；
3）判斷乙個函式的奇偶性的步驟
①先求定義域，看是否關於原點對稱;
②再判斷或是否恆成立。
4）奇偶函式圖象的對稱性
奇函式的圖象關於對稱；偶函式的圖象關於對稱。
5）奇函式在對稱區間的單調性 ；偶函式在對稱區間的單調性 .
2、 週期性
1）定義：如果存在乙個非零常數t，使得對於函式定義域內的任意x，都有
，則稱f(x)為週期函式；
2）性質：①若，則的週期為
②若，則的週期為.
二、例題變式
例1、判斷下列函式的奇偶性：
（1） （2） （3）
變式1、判斷下列函式的奇偶性：
（1）； （2）； （3）
例2、設是上的奇函式，且當時，，求當時的解析式。
變式2、是定義在上的偶函式，且時，，則當
時例3、已知奇函式是定義在上的減函式，若，求實數的取值範圍。
變式3、已知f (x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函式，且在(－∞，0]上是增函式，設a＝f (3)，b＝f (—2)，c＝f (1)，則a，b，c的大小關係是
a>例4、設是定義在實數集r上的函式，且滿足，如果，，求
變式4、若是定義在實數集r上的函式，且滿足，且，求
例5、是定義在r上的以3為週期的偶函式，且，則方程=0在區間（0，6）內解的個數的最小值是
a．5 b．4 c．3 d．2
變式5、在上定義的函式是偶函式，且，若在區間是減函式，則函式（ ）
a.在區間上是增函式，區間上是增函式
b.在區間上是增函式，區間上是減函式
c.在區間上是減函式，區間上是增函式
d.在區間上是減函式，區間上是減函式
三、課後練習
1．下列說法中不正確的是
a．圖象關於原點成中心對稱的函式一定是奇函式
b．奇函式的圖象一定經過原點
c．偶函式的圖象若不經過原點，則它與x軸的交點的個數一定為偶數
d．圖象關於y軸成軸對稱的函式一定是偶函式
2．函式:,
其中是非奇非偶函式的是
a. (1)(2)(3) b. (1)(3)(4) c. (1)(3) d.(1)
3．若是偶函式,則是
a.奇函式 b.偶函式 c.既是奇函式又是偶函式 d.非奇非偶函式
4. 如果奇函式在區間[3,7]上是增函式且最小值是5,則在[-7,-3]上
a. 是增函式, 最小值是-5b. 是增函式,最大值是-5
b. 是減函式, 最小值是-5c. 是減函式, 最大值是-5
5.是定義在r上的奇函式，且為週期函式，最小正週期為t，則（ ）
（a）0 （b） （c） （d）
6．已知是定義在r上的偶函式，且在上是減函式，，
則使得f(x)<0的x的取值範圍是
a. b. c. d.
7．若等式對於全體實數都成立，則是
a.奇函式 b.偶函式 c.既是奇函式又是偶函式 d.非奇非偶函式
8．若，且，則
9．是定義在上的奇函式，且時，則 .
10．是定義在r上的奇函式，則________
11. 判斷下列函式的奇偶性:
(1) (2) (3)
12.是定義在上的奇函式,且是單調遞減函式,若
,求實數的取值範圍.
13. 已知函式是定義在r上的奇函式,當時，
求在r上的解析式.
函式奇偶性與週期性
例1 函式f x 是定義在r上的奇函式，且對任意x r都有f x 6 f x f 3 x 則f 180 的值為 分析 根據函式奇偶性，利用賦值法分別求出f 9 f 6 f 3 f 0 0，然後歸納出規律，即可得到結論 解 f x 是定義在r上的奇函式，f 0 0，令x 0，則f 6 f 0 f 3 ...
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第五課時函式的奇偶性和週期性 學生版
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