09年高考第一輪總複習
三．函式的單調性與奇偶性
授課人：張勝利
一．鞏固雙基
1．函式的單調性
（1）對於函式f(x)定義域上的子區間a，任意的x1、x2∈a：
若x1＜x2＝＞ f(x1)＜f(x2)，則稱f(x)在區間a上是增函式；
若x1＜x2 ＝＞ f(x1)＞f(x2)，則稱f(x)在區間a上是減函式。
（2）函式y= - f(x)的單調性與y=f(x)的相反
兩個增（減）函式的和仍然是增（減）函式
兩個恆正的增（減）函式的積仍然是增（減）函式
復合函式的單調性——同增異減
例1．（1）函式y＝的遞減區間是______；
（2）函式y＝的遞減區間是 _____；
（3）函式y＝的遞增區間是 _____。
答：（1）(―∞, ―1)和(―1, ＋∞)
（2） (－1, ＋1]
（3）(―∞, ―2]和(―2, ―1]
例2．判斷函式f (x)＝(a≠0)在區間(－1，1)上的單調性。
解：設－1 f (x1)－f (x2)＝－＝,
∵ x12－1<0, x22－1<0, x1x2＋1<0, x2－x1>0, ∴>0,
∴ 當a>0時, f (x1)－f (x2)>0,
函式y＝f (x)在(－1, 1)上為減函式，
當a<0時, f (x1)－f (x2)<0,
函式y＝f (x)在(－1, 1)上為增函式。
2. 函式的奇偶性
（1）對於函式定義域（關於原點對稱）內任意x，
若有f(-x)＝f(x)， 則稱 f(x)是偶函式；若有f(-x)＝-f(x)，則稱f(x)是奇函式。
（2）奇偶性與單調性
奇函式在對稱區間(-b,-a)與(a，b)上單調性相同。
偶函式在對稱區間(-b,-a)與(a，b)上單調性相反。
（3）對於函式f(x) ：
如果滿足f(m+x)＝f(m-x)即f(x)＝f(2m-x)，則y＝f(x)圖象關於直線x＝m對稱。
如果滿足f(m+x)＝-f(m-x)即f(x)＝-f(2m-x)，則y＝f(x)圖象關於點(m，0)對稱。
例3．判斷下列函式的奇偶性：
(1)f(x)＝lg(-x); (2)f(x)＝x·;
(3)f(x4)f(x)＝+
解：(1)奇函式； (2)偶函式；
(3)此函式定義域為｛2｝，故f(x)是非奇非偶函式。
(4)此函式定義域為｛1，-1｝，且f(x)＝0，既是奇函式又是偶函式。
例4．設函式y＝f (x)是奇函式，對於任意x、y∈r都有
f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，且當x>0時，y<0，f(1)＝－2，
求函式y＝f (x)在區間[－3, 3]上的最大值和最小值。
解：設x1, x2∈[－3, 3], 且x10,
∴ f(x2)－f (x1)＝f (x2－x1＋x1)－f (x1)
＝ f (x2－x1)＋f (x1)－ f (x1)＝ f (x2－x1)<0,
∴ 函式y＝f (x)為減函式，
∴ 當x＝3時, f (3)＝3f (1)＝－6, 為最小值；
當x＝－3時, f (－3)＝3f (－1)＝6 為最大值。
練習1.已知函式y＝f (x)是偶函式(x∈r), 在x<0時，y是增函式，對x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|,則（ ）
（a）f (－x1)>f (－x2) （b）f (－x1)（c）f (－x1)＝f (－x2) （d）以上都不對
答案：a
二．訓練提公升
例5．若函式p(x)、q(x)均為奇函式，
f (x)＝a·p(x)＋b·q(x)＋2 (a2＋b2≠0, a, b為常數)，
且f (x)在(0, ＋∞)上有最大值5，
則f (x) 在(－∞，0)上的最小值為 。
答：－1.
例6. 定義在r上的函式y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈r，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1） 求證：對任意的x∈r，恒有f(x)>0；
（2） 證明：f(x)是r上的增函式；
（3） 若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值範圍。
解：（1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]2， ∵ f(0)≠0，∴ f(0)=1
令a=x，b=-x，則 f(0)=f(x)f(-x)，∴
由已知x>0時，f(x)>1>0；當x<0時，-x>0，f(-x)>0，∴
∴ 對任意x∈r，f(x)>0
（1） 任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴ ∴ f(x2)>f(x1)，∴ f(x)在r上是增函式
（2） f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)
又1=f(0)，f(x)在r上遞增，∴ 由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0， ∴ 0練習2.設奇函式f(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上單調遞增，f(1)＝0，解不等式：
f［x(x-)］＜0
解：∵奇函式f(x)在(0，+∞)上遞增
∴f(x)在(-∞，0)上單調遞增
又f(-1)＝-f(1) ∴f(-1)＝f(1)＝0
∴當x∈(-1，0)∪(1，+∞)時f(x)＞0
當x∈（-∞，-1）∪(0，1)時 f(x)＜0
∴又x(x-)=(x-)2-≥-＞-1，
f〔x(x-)〕＜0等價於0＜x(x-)＜1,解之得：
＜x＜0或＜x＜
例7．設f(x)是定義在(-∞，+∞)上的奇函式，且f(x+2)=-f(x)，又當-1≤x≤1時，f(x)=x3.
(ⅰ)證明直線x=1是函式f(x)的圖象的一條對稱軸；
(ⅱ)求當x∈［1，5］時，f(x)的解析式.
解：(ⅰ)由f(x+2)=-f(x)，又f(x)是奇函式，故
f(x+2)＝f(-x).於是
f(1-x)=f［-(x-1)］＝f［(x-1)+2］＝f(x+1)，
故f(x)的影象關於直線x=1對稱.
(ⅱ)由(ⅰ)f(x)的圖象關於直線x=1對稱，故當1≤x≤3時，f(x)=(2-x)3.
又當3＜x≤5時-1＜x-4≤1，故此時，
f(x)=(x-4)3.於是有f(x)=。
例8．已知是上的減函式，求實數a的取值範圍。
答案：練習3．（1）設是r上的任意函式,
則下列敘述正確的是
(a)是奇函式 (b)是奇函式
(c)是偶函式 (d)是偶函式
（2）已知函式的圖象與函式（且）的圖象關於直線對稱，記．若在區間上是增函式，則實數的取值範圍是___.
答案：（1）d; （2）
練習4. （1）已知f(x)與g(x)的定義域是
，若f(x)是偶函式，g(x)是奇函式，
且f(x)+ g(x)=，則f(xg(x
（2）判斷函式的奇偶性。
答案：（1） （2）偶。
（3）若是r上的減函式，且的圖象經過點a（0，3）和b（3，－1），則不等式的解集是 .
（4）已知z）是奇函式，又f(1)=2，f(2)<3, 求a,b,c的值.
解： （3）.
（4）∵f(x)為奇函式，∴f(－x)=－f(x)，
∵a,b, c, ∈z ，∴b=1, ∴a=1, 綜上 ，a=1, b=1, c=0.
高考數學三輪複習法——
第一輪總複習：章節複習
指導思想：依綱靠本，歸納總結
戰略方針：歸納總結，學會練熟
具體措施：分章節，歸納總結；
抓中下，勤練雙基。
高考數學第一輪總複習013函式的單調性
函式單調性 一 知識回顧 1 對於給定區間d上的函式，如果則稱是區間d上的增 減 函式.2 判斷函式單調性的常用方法 1 定義法 2 導數法 3 利用復合函式的單調性 3.關於函式單調性還有以下一些常見結論 兩個增 減 函式的和為 乙個增 減 函式與乙個減 增 函式的差是 奇函式在對稱的兩個區間上有...
高三物理第一輪複習
時間60分鐘，滿分100分 1 8分 1 機械波和電磁波都能傳遞能量，其中電磁波的能量隨波的頻率的增大而 波的傳播及其速度與介質有一定的關係，在真空中機械波是 傳播的，電磁波是 傳播的 填 能 不能 或 不確定 在從空氣進入水的過程中，機械波的傳播速度將 電磁波的傳播速度將填 增大 減小 或 不變 ...
高三第一輪複習建議
2017屆高三第一輪複習建議 第一輪複習非常重要，它是整個高三複習的基礎和關鍵，起著承上啟下的作用。為使第一輪複習工作更具科學性和實效性，現結合我們年級的教學實際，對高三第一輪複習工作提出以下建議。一 明確目標 更新觀念 制訂計畫 1 明確高三複習的指導思想 結合考點，緊扣教材，以加強三基教學為主線...