函式奇偶性知識點歸納考點分析配經典案例分析
函式的奇偶性定義：
1．偶函式：一般地，對於函式的定義域內的任意乙個，都有，那麼就叫做偶函式．
2．奇函式：一般地，對於函式的定義域的任意乙個，都有，那麼就叫做奇函式．
二、函式的奇偶性的幾個性質
1、對稱性：奇（偶）函式的定義域關於原點對稱；
2、整體性：奇偶性是函式的整體性質，對定義域內任意乙個都必須成立；
3、可逆性： 是偶函式； 奇函式；
4、等價性： ； ；
5、奇函式的影象關於原點對稱，偶函式的影象關於軸對稱；
6、可分性：根據函式奇偶性可將函式分類為四類：奇函式、偶函式、既是奇函式又是偶函式、非奇非偶函式。
7、判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義。
8、如果乙個奇函式f(x)在x=0處有意義，則這個函式在x=0處的函式值一定為0。並且關於原點對稱。
三、關於奇偶函式的影象特徵
一般地：
奇函式的影象關於原點對稱，反過來，如果乙個函式的影象關於原點對稱，那麼這個函式是奇函式；
即：f(x)為奇函式<=>f(x)的影象關於原點對稱點（x,y）→（-x,-y）
偶函式的影象關於軸對稱，反過來，如果乙個函式的影象關於軸對稱，那麼這個函式是偶函式。
即： f(x)為偶函式<=>f(x)的影象關於y軸對稱點（x,y）→（-x,y）
奇函式對稱區間上的單調性相同（例：奇函式在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。）
偶函式對稱區間上的單調性相反（例：偶函式在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減）。
2．函式奇偶性與單調性(最值)之間的關係
(1)若奇函式f(x)在[a，b]上是增函式，且有最大值m，則f(x)在[－b，－a]上是增函式，且有最小值－m.
(2)若偶函式f(x)在(－∞，0)上是減函式，則f(x)在(0，＋∞)上是增函式．
五、關於函式奇偶性的簡單應用
1、函式的對稱性
如果函式f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，則函式f(x)的圖象關於直線______對稱．
一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)，則函式f(x)的對稱軸方程是______.
兩個函式與的圖象關於直線對稱.
2、函式的週期性
函式的週期性的定義：設函式y＝f(x)，x∈d，若存在非零常數t，使得對任意的x∈d都有________，則函式
f(x)為週期函式，t為y＝f(x)的乙個週期．
(1)週期函式：對於函式y＝f(x)，如果存在乙個非零常數t，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋t)＝f(x)，那麼就稱函式y＝f(x)為週期函式，稱t為這個函式的週期．
(2)最小正週期：如果在週期函式f(x)的所有週期中存在乙個最小的正數，那麼這個最小正數就叫做f(x)的最小正週期．
(3)週期函式不一定有最小正週期，若t≠0是f(x)的週期，則kt(k∈n＋)也一定是f(x)的週期．
若函式f(x)對定義域中任意x滿足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝－(a≠0)，則函式f(x)是週期函式，它的乙個週期是________.若,則函式的圖象關於點對稱;
六、函式的奇偶性的判斷
函式奇偶性的因素有兩個：定義域的對稱性和數量關係。判斷函式奇偶性就是判斷函式是否為奇函式、偶函式、既是奇函式又是偶函式、非奇非偶函式四種情況。
判斷函式奇偶性的方法：
（1）、利用奇、偶函式的定義，主要考查是否與、相等，判斷步驟如下：
1、若定義域不對稱，則為非奇非偶函式；
若定義域對稱，則有成為奇（偶）函式的可能，到底怎樣，取決於數量關係怎樣成立？
若成立，則為偶函式；若成立，則為奇函式；
若成立，則為既是奇函式也是偶函式；若都不成立，則為非奇非偶函式。
2．討論函式奇偶性時，注意定義域優先原則．
3．由奇偶函式的圖象的對稱性，只要知道函式在原點的一側區間上的有關性質，就可得出函式在其
對稱區間上的性質．
4．若t是f(x)的乙個週期，則kt(k≠0，k∈z)也是f(x)的週期．
5．(1)若函式f(x)存在兩條平行於y軸的對稱軸，則函式f(x)是週期函式；若函式f(x)具有奇偶性，又
有一條平行於y軸的對稱軸，則函式f(x)是週期函式．
6．注意函式性質的逆向應用．
（2）、影象法：
f(x)為奇函式<=>f(x)的影象關於原點對稱點（x,y）→（-x,-y）
f(x)為偶函式<=>f(x)的影象關於y軸對稱點（x,y）→（-x,y）
（3）、特值法：根據函式奇偶性定義，在定義域內取特殊值自變數，計算後根據因變數的關係判斷
函式奇偶性。
（4）、性質法
（5）、函式奇、偶性的運算：利用已知函式的奇偶性及以下準則（前提條件為兩個函式的定義域交集不為空集）：
1)若f(x)與g(x)都是奇函式，則在f(x)與g(x)的定義域的公共區間上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)都是奇函式，f(x)·g(x)與為偶函式．
2)若f(x)與g(x)都是偶函式，則在f(x)與g(x)的定義域的公共區間上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，都是偶函式．
3）奇函式與偶函式的和（差）既非奇函式也非偶函式；
4)若f(x)與g(x)中乙個為奇函式，另乙個為偶函式，則在f(x)與g(x)的定義域的公共區間上，
f(x)·g(x)，都為奇函式．
3．若y＝f(x)為奇函式，且y＝f(x)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.
性質 1、偶函式沒有反函式（偶函式在定義域內非單調函式），奇函式的反函式仍是奇函式。
2、偶函式在定義域內關於原點對稱的兩個區間上單調性相反，奇函式在定義內關於原點對稱的兩個區間上單調性相同。
3、對於f（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函式且f(x)是偶函式，則f[x]是偶函式
若g(x)奇函式且f(x)是奇函式，則f（x）是奇函式
若g(x)奇函式且f(x)是偶函式，則f（x）是偶函式
5、奇函式與偶函式的定義域必須關於原點對稱
案例分析：
考點一、判斷函式的奇偶性
例1．判斷下列函式是否是偶函式．
（12）
（3）f (x) = x + x3 +x54）f (x) = x2 +1；
（5）f (x) = x + 16）f (x) = x2，x∈[–1，3]；
（7）f (x) = 0.
變式訓練
1、判斷下列函式的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x32) f (x) = – x2；
(3) h (x) = x3 +14) k (x) =，x[–1，2]；
(5) f (x) = (x + 1) (x – 16) g (x) = x (x + 1)；
(7) h (x) = x8) k (x) =.
2、下面四個結論中，正確命題的個數是( )
①偶函式的影象一定與y軸相交；②函式f(x)為奇函式的充要條件是f(0)＝0；
③偶函式的影象關於y軸對稱；④既是奇函式，又是偶函式的函式一定是f(x)＝0(x∈r)．
a．1 b．2c．3d．4
考點二、分段函式的奇偶性
解析：分別討論每乙個區間與其對稱區間上的對稱性，是否符合奇偶性的定義．
例1、判斷下列函式的奇偶性：①②
分析：先驗證函式定義域的對稱性，再考察．
解：（1）＞0且＞=＜＜，它具有對稱性．因為，所以是偶函式，不是奇函式．
（2）當＞0時，－＜0，於是
當＜0時，－＞0，於是
綜上可知，在r－∪r+上，是奇函式．
例2、判斷函式f(x)＝的奇偶性．
思路點撥：分x＞0或x＜0兩種情況計算f(－x)，然後再判斷f(－x)與f(x)的關係．
解：函式f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關於原點對稱．
①當x＞0時，－x＜0，
則f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②當x＜0時，－x＞0，
則f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1
＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，當x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)時，
都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函式．
【名師點撥】 分段函式的奇偶性應分段證明f(－x)與f(x)的關係，只有當對稱的兩段上都滿足相同的關係時，才能判斷其奇偶性．也可根據圖象判定．
1、如果函式f(x)＝，其奇偶性怎樣？
解：當x＞0時，f(x)＝x3－3x2＋1，－x＜0，f(－x)＝－(－x)3－3(－x)2＋1＝x3－3x2＋1＝f(x)．
當x＜0時，f(x)＝－x3－3x2＋1.－x＞0，f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝f(x)．
綜上可得f(－x)＝f(x)
∴f(x)為偶函式．
考點二、利用奇偶函式影象的對稱性質
由偶函式的定義可得：
偶函式的影象關於y軸對稱，反過來， 若乙個函式的影象關於y軸對稱，則這個函式是偶函式.
由奇函式的定義可得：
奇函式的影象關於原點對稱，反過來， 若乙個函式的影象關於原點對稱，則這個
函式是奇函式
例1、設奇函式的定義域為，若當時，的圖象如右圖,則不等式的解是
例2．如圖，給出了奇函式y = f (x)的局總圖象，求f (– 4).
例3．如圖，給出了偶函式y = f (x)的區域性圖象，試比較f (1)與 f (3)的大小.
1．奇函式y＝f(x)(x∈r)的圖象必過點( )
a．(a，f(－a)) b．(－a，f(a)) c．(－a，－f(a)) d．(a，f())
解析：∵f(x)是奇函式，∴f(－a)＝－f(a)，即自變數取－a時，函式值為－f(a)，故圖象必過點(－a，－f(a))．
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