例析求函式值域的方法
曲靖市民族中學張小瓊
求函式的值域常和求函式的最值問題緊密相關，是高中數學的重點和難點。注意：求值域要先求定義域。雖然沒有固定的方法和模式，但常用的方法有：
一、直接法：從自變數的範圍出發，推出的取值範圍。
例1：求函式的值域。
解：∵，∴，
∴函式的值域為。
二、影象法：對於二次函式在給定區間求值域問題，一般採用影象法。
例2：求函式（）的值域。(開口方向；區間與對稱軸的關係)
三、中間變數法：函式式中含有可以確定範圍的代數式。
例3：求函式的值域。
解：由函式的解析式可以知道，函式的定義域為（定義域優先原則），對函式進行變形可得
，∵，（特殊情況優先原則）∴（，），
∴，∴，
∴函式的值域為
例4：求y= （1≤x≤3）的值域。
解：y＝ x＝
∵1≤x≤3 ∴1≤≤3 （怎麼求解？） y∈[,]
四、分離常數法：分子、分母是一次函式的有理函式，可用分離常數法，此類問題一般也可以利用反函式法。
例5：求函式的值域。
解：（此處要先求定義域）∵，
∵，∴，∴函式的值域為。
五、換元法：運用代數代換，獎所給函式化成值域容易確定的另一函式，從而求得原函式的值域，形如（、、、均為常數，且）的函式常用此法求解。
例6：求函式的值域。
解：(求值域先求定義域)令（）（引入新元要標註範圍），則，
∴（）（你看：沒有標註範圍的話這裡就會出錯）（再利用數形結合法）
∵當，即時，，無最小值。
∴函式的值域為。
例7：求y＝2x－3＋的值域
解：(求值域先求定義域)令t＝，則t≥0（引入新元要標註範圍），
且2x＝(13－t2)
y＝－t2＋t＋＝t－(t－1)2＋4≤4（t≥0）
（這裡最好利用數形結合法）
y∈（－∞，4
例8 求函式的值域。
解：函式的定義域為(求值域先求定義域)，令，那麼（引入新元要標註範圍），
（t≥0）
（這裡最好利用數形結合法）
當即也即時，函式有最大值；函式無最小值。
函式的值域為。
點評：對於形如（、、、為常數，）的函式，我們可以利用換元法求其值域，同時還利用了影象法。特別注意：引入新的變數時要標註其範圍。
例9 求函式的值域
分析：該題比較難處理的是根號，如果將根號看作是乙個整體，那麼， 則原函式就可以寫成乙個二次函式的形式，用配方法就可以求出其值域。
解：(求值域先求定義域)令，則
於是原函式變為 （再利用數形結合法）
， 即值域為。
[評注] 形如的函式均可用此法（換元、影象）求值域。
六、判別式法：把函式轉化成關於的二次方程；通過方程有實數根，判別式，從而求得原函式的值域，形如（、不同時為零且定義域為）的函式的值域，常用此方法求解。
例10：求函式的值域。
解：定義域為：∵
由變形得，
當時，此方程無解；（特殊情況優先）
當時，∵說明方程至少有解，∴，
解得，又，∴
∴函式的值域為
例11：求y＝的值域。
例12： 求函式的值域。
解：定義域為：∵說明方程至少有解
可化為當即時，方程在實數範圍內有唯一解；
當即時，，，即
解得，函式的值域為
例13.求y=的值域。
分析：定義域為：∵
原函式解析式變為：(y+1)x2-x+2y+2=0,當y=-1時，x=0成立；當y≠-1時，此方程的判別式△≥0解出y∈[-1-,-1+]。
點評：（1）此法適用≠0）型的函式；
（2）在解題過程中注意對二次項係數是否零的討論；
（3）有兩種情況不採用此法。(一是x有限制；二是分子分母有公因式)
七、函式的單調性法：確定函式在定義域（或某個定義域的子集）上的單調性，求出函式的值域。
例14：求函式的值域。
解：(求值域先求定義域)∵當增大時，隨的增大而減少，隨的增大而增大，∴函式在定義域上是增函式。
∴，∴函式的值域為。
八、數形結合法：函式影象是掌握函式的重要手段，利用數形結合的方法，根據函式影象求得函式值域，是一種求值域的重要方法。
例15：求函式的值域。
解：∵，
∴的影象如圖所示，
由影象知：函式的值域為
例16：求函式的值域。(還記得以上兩題的結論嗎？)
九、反函式法（利用原函式與反函式的關係求解）。
二次函式訓練題
一、 實際應用題
1、某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗，將進貨單價為8元的商品按10元一件**時，每天可銷售60件，現在採用提高售價減少進貨量的辦法來增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價定為多少元時，才能賺得最大利潤，並求出最大利潤。
2、某工廠計畫**一種產品，經銷人員並不是根據生產成本來確定這種產品的**，而是經過對經營產品的零售商對於不同的**情況下他們會進多少貨進行調查，通過調查確定了關係式，其中是零售商進貨的數量，為零售商願意支付的每件**，現估計這種產品生產一件的材料和勞動生產成本費用為4元，並且工廠生產這種產品的總固定成本為7000元（固定成本是除材料和勞動費用外的其它費用）。為獲得最大利潤，工廠應對零售商每件收取多少元？
3、（2003北京高考題）某租賃公司擁有汽車100輛，每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加1輛，租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛需要維護費50元。
（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？
（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
二、求出區間上的最大值或最小值。（最值、值域問題）
1、定區間動軸問題
（1）求函式的最大值與最小值的表示式。
（2）已知函式在時有最大值2，求的值。
（3）已知函式在區間上有最大值3，最小值2，求得取值範圍。
（4）已知若在上的最大值為最小值為，另。
①求的函式表示式；
②判斷函式的單調性，並求出的最小值。
2、動區間定軸求最大值或最小值。
已知函式，求的最小值的表示式
二次函式訓練題答案
1、某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗，將進貨單價為8元的商品按10元一件**時，每天可銷售60件，現在採用提高售價減少進貨量的辦法來增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價定為多少元時，才能賺得最大利潤，並求出最大利潤。
2、某工廠計畫**一種產品，經銷人員並不是根據生產成本來確定這種產品的**，而是經過對經營產品的零售商對於不同的**情況下他們會進多少貨進行調查，通過調查確定了關係式，其中是零售商進貨的數量，為零售商願意支付的每件**，現估計這種產品生產一件的材料和勞動生產成本費用為4元，並且工廠生產這種產品的總固定成本為7000元（固定成本是除材料和勞動費用外的其它費用）。為獲得最大利潤，工廠應對零售商每件收取多少元？
3、（2003北京高考題）某租賃公司擁有汽車100輛，每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加1輛，租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛需要維護費50元。
（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？
（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少
解：（ⅰ）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數為
所以這時租出了88輛車. …………4分
（ⅱ）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為
，…………8分
整理得.
所以，當x=4050時，最大，最大值為，…………11分
答：當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307050元
4、已知二次函式滿足且方程有等根。
（1）求的解析式；
（2）求的值域；
（3）是否存在實數、，使得的定義域和值域分別為[，和，4]. 若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由。
解：（1）
即 又即有等根
即 ……4分
（2）函式的值域為7分
（3）設有實數、
使定義域為[m,n]，值域為[4m,4n]
當……10分
上是增函式，則……12分
二、求出區間上的最大值或最小值。
1、定區間動軸問題
（1）求函式的最大值與最小值的表示式。
（2）已知函式在時有最大值2，求的值。
或2（3）已知函式在區間上有最大值3，最小值2，求得取值範圍。
（4）已知若在上的最大值為最小值為，另。
①求的函式表示式；
②判斷函式的單調性，並求出的最小值。
2、動區間定軸求最大值或最小值。
已知函式，求的最小值的表示式
高一數學求函式值域的方法
高一數學集合的基本運算 1 並集 一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的並集 union 記作 a b讀作 a並b 即 a b venn圖表示 說明 兩個集合求並集，結果還是乙個集合，是由集合a與b的所有元素組成的集合 重複元素只看成乙個元素 說明 連續的 用不等式...
例談求函式值域的方法
郵箱 boy 郵編 333200 大家都知道函式這一章在整個高中數學學習階段的重要性，它涉及多種知識的綜合應用，並且都是利用函式思想解題，實際上只要有數學表示式就涉及到函式，例如現在常見的不等式恆成立問題 方程的解的問題 不等式的解的問題 應用題中的最值問題等，這些問題如果能構造乙個函式及求其值域就...
求函式值域的方法
基本函式的值域 一次函式的值域為r.二次函式，當時的值域為，當時的值域為.反比例函式的值域為.指數函式的值域為.對數函式的值域為r.正 余弦函式的值域為，正切函式的值域為r.求函式值域 最值 的常用方法 一 觀察法 例1.求函式的值域。解析 由 故此函式值域為 評注 此方法適用於解答選擇題和填空題 ...