郵箱 boy_ 郵編 333200
大家都知道函式這一章在整個高中數學學習階段的重要性，它涉及多種知識的綜合應用，並且都是利用函式思想解題，實際上只要有數學表示式就涉及到函式，例如現在常見的不等式恆成立問題、方程的解的問題、不等式的解的問題、應用題中的最值問題等，這些問題如果能構造乙個函式及求其值域就能很好的解決。所以在高三第一輪複習函式時，對求函式值域的方法作乙個總結。針對求值域問題型別雜、方法多、思路廣，為幫助高三同學系統掌握這類問題的求解方法，特做如下歸納：
一、配方法求值域
配方法是指關於某個式子的二次函式問題，對其進行配方，然後借助二次函式的單調性和圖象直觀性，來求在某個定義域內的值域。形如的函式值域問題。
例1、求的值域。
解：化簡
，結合二次函式圖象可得：
變式1：求的值域。
例2求函式的值域。
解：先化簡
由得：，再結合二次函式性質可以求得，
變式2：若時，求函式的值域。
二、換元法求函式的值域
換元法是指運用代數或三角代換，將所給函式化成易求值域的函式，從而求得原函式的值域。形如： 或。
例3、求函式的值域。
解： 變式3：求的值域。
例4、求函式的值域。
解：化簡，令
則，由得，
即結合二次圖象可求得：，
變式4：求函式的值域。（提示：令）
三、函式單調性法求函式值域
單調性法是指能夠確定函式在定義域上的單調性，然後求函式在某個區間的值域。形如求函式的值域。知道該函式在和上為減函式，在和上為增函式。
例5、求函式的值域。
解：函式的定義域為，由函式和在該定義域內都是增函式，故函式在上為增函式。則，
變式5：求函式的值域。
例6、已知是奇函式，求的值域。
解：由為奇函式得：，
即恆成立。
得：，即為奇函式。
可以證明在上為減函式，在上為增函式。
在上為減函式，又時，，
即函式的值域為，所以函式的值域為
變式6：求函式的值域。
四、反函式表示式法求函式的值域
反函式表示式法是利用函式和它的反函式的定義域與值域的互換關係，通過求反函式的定義域，得到原函式的值域。形如的函式的值域，均可使用反函式表示式法，由的取值去求的值域。
例7、求函式的值域。
解：由得，,所以
變式7：求函式y=的值域。
五、數形結合求解函式值域
數形結合思想是高中數學的重要解題思想，在很多領域都有著重要的應用。在求函式的值域時把代數問題轉化到幾何圖形問題，能過圖象來求函式的值域。
例8、求函式的最小值。
解：上式聯想兩點的距離公式，由
得，設a（2，3），b（6，1），p（x，0），由上述問題可轉化為
求|pa|+|pb|的最小值。作a關於x軸的對稱點a1（2，－3），
由|pa|+|pb|=|pa1|+|pb|≥|a1b|=。所以的最小值是。
變式8：求函式的值域。（提示：的幾何意義是表示數軸上任
意動點（x，0）到a（2，0）、b（3，0）兩定點的距離之差。）
例9、試求函式的值域。
解：由解析式可得：，由斜率公式可視
為點與點的斜率，而點p
滿足，由數形結合不難得出動點p與
定點a的斜率的取值範圍，即函式值域為。
變式9：求函式的值域。(提示：化簡，再用構造法來做）
例10、求函式的值域。
解:令, ,則,從而可把
看成是圓心在原點且半徑為2的個圓上的動點,
把看成關於過點的直線方程,結合圖象易得:
直線和圓如圖相切時有最大值, 解得:,即的最大值為,
過點(2,0)時有最小值,即的最小值為2。
變式10:求函式的值域.
六、求復合函式值域
復合函式就是: 把乙個函式中的自變數替換成另乙個函式所得的新函式
。求這類函式的值域就是要弄清楚這個函式是由哪二個函式合成的，然後先由定義
域求內函式的值域，再把內函式的值域看作外函式的定義域去求值域。
例11、求函式的值域
解：這個函式看成由和合成的復合函式。
易得的值域為，再由的定義域為，
利用函式的單調遞減性可求得值域為，即函式的值域為。
變式11：求函式的值域。
七、判別式法求函式的值域
判別式法是把函式轉化成關於x的二次方程，通過方程有實根，判別式，從而求得原函式的值域 ，形如（零）。
例12、求函式的值域
解： ，所以可化為，
由，解得：或
所以函式的值域為或
變式12：求y=的值域。
通過例舉函式的值域求法,讓同學們能夠理解各類求解方法，以便今後更好的解決函式的綜合應用題。還有可用導數法來求函式的單調性，然後再求值域等方法。這裡最後再舉幾個例子來運用函式值域求法解綜合題。
函式應用舉例一:關於的方程有實數解，求的取值範圍?
解:原式化為,再構造乙個函式
,利用求函式值域的方法可求得,
所以根據關於的方程要有解，則滿足。
函式應用舉例二:設, 當 x時,恆成立,求取值範圍?
解:由可變形為,建構函式,
利用求函式值域的方法可求得,所以由恒成立得:
函式應用舉例三:設, (1)求當時,恒有成立的取值範圍?
(2) 求關於的不等式有解時的的取值範圍?
解:由函式值域求法可得, 所以由時恒有成立的滿足，
由關於的不等式有解時的滿足。
函式應用舉例四:某工廠去年的某產品的年產量為100萬只，每只產品的銷售價為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元(科技成本)，並計畫以後每年比上一年多投入100萬元(科技成本)，預計產量年遞增10萬只，第n次投入後，每只產品的固定成本為(k＞0，k為常數，且n≥0)，若產品銷售價保持不變，第n次投入後的年利潤為萬元．
(1)求k的值，並求出的表示式；
(2)問從今年算起第幾年年利潤最高?最高年利潤為多少萬元?
解:由得,。在第n次投入後,年產量為萬只。
所以第n次投入後的年利潤為=
2008-4-8
求函式值域的方法
基本函式的值域 一次函式的值域為r.二次函式，當時的值域為，當時的值域為.反比例函式的值域為.指數函式的值域為.對數函式的值域為r.正 余弦函式的值域為，正切函式的值域為r.求函式值域 最值 的常用方法 一 觀察法 例1.求函式的值域。解析 由 故此函式值域為 評注 此方法適用於解答選擇題和填空題 ...
求函式值域的常用方法
在函式的三要素中，對於如何求函式的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經常出現，占有一定的地位，若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。1 直接觀察法 對於一些比較簡單的函式，其值域可通過觀察得到。例1 求函式y 3 的值域。解 0 0 3...
求函式值域的方法方法大全
例析求函式值域的方法 函式的值域是函式三要素之一，求函式的值域是深入學習函式的基礎，它常涉及多種知識的綜合應用，下面通過例題講解，多方探尋值域的途徑。一 直接法 從自變數的範圍出發，推出的取值範圍 例1 求函式的值域。解 因為，所以，所以函式的值域為。二 配方法 是求二次函式值域的基本方法，如的函式...