函式是中學數學的乙個重點,而函式值域(最值)的求解方法更是乙個常考點, 對於如何求函式的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經常出現，占有一定的地位，因此能熟練掌握其值域(最值)求法就顯得十分的重要，求解過程中若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。本文旨在通過對典型例題的講解來歸納函式值域(最值)的求法，希望對大家有所幫助。
一、值域的概念和常見函式的值域
函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採用什麼方法球函式的值域均應考慮其定義域.
常見函式的值域：
一次函式的值域為r.
二次函式，當時的值域為，當時的值域為.，
反比例函式的值域為.
指數函式的值域為.
對數函式的值域為r.
正，余弦函式的值域為，正，餘切函式的值域為r.
二、求函式值域（最值）的常用方法
1. 直接觀察法
適用型別：根據函式圖象.性質能較容易得出值域(最值)的簡單函式
例1、求函式y_=_的值域
解： _ _顯然函式的值域是：
___ 例2、求函式y_=2－的值域。
___ 解： ≥0 _－≤0_ 2－≤2
故函式的值域是：[_-∞，2
2_、配方法
適用型別：二次函式或可化為二次函式的復合函式的題型。
配方法是求二次函式值域最基本的方法之一。對於形如或類的函式的值域問題，均可用配方法求解.
例3、求函式y=-2x+5，x [-1，2]的值域。
_ _解：將函式配方得：y=（x-1）+4，__x_ [-1，2]，_由二次函式的性質可知：
_ 當x_=_1時，y =_4_
_ 當x_=_-_1，時_=_8_
_ 故函式的值域是：[_4_，8_]_ _
例4_、求函式的值域：
解：設，則原函式可化為：.又因為，所以，故，，所以，的值域為.
_3_、判別式法
_適用型別：分子.分母中含有二次項的函式型別，此函式經過變形後可以化為的形式，再利用判別式加以判斷。
例5、求函式的值域
解：恆成立，函式的定義域為r.
由得 。
1 當即時，；
2 當即時，時，方程恒有實根. 且.
原函式的值域為.
例6、 求函式y=x+的值域。
解：兩邊平方整理得：2-2（y+1）x+y=0___（1）_
xr，△=4（y+1）-8y≥0
解得：1-≤y≤1+
但此時的函式的定義域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，僅保證關於x的方程：2-2（y+1）x+y=0在實數集r有實根，而不能確保其實根在區間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實根，由△≥0求出的範圍可能比y的實際範圍大，故不能確定此函式的值域為[，]。可以採取如下方法進一步確定原函式的值域。
_ 0≤x≤2， y=x+_≥0，
=0，y=1+代入方程（1），解得： = [0，2]，即當=時，原函式的值域為：[0，1+]。
注：由判別式法來判斷函式的值域時，若原函式的定義域不是實數集時，應綜合函式的定義域，將擴大的部分剔除。
4、反函式法
適用型別：分子.分母只含有一次項的函式(即有理分式一次型),也可用於其它易反解出自變數的函式型別。
例7、求函式的值域。
分析與解：由於本題中分子、分母均只含有自變數的一次型,易反解出x,從而便於求出反函式。
反解得即
知識回顧：反函式的定義域即是原函式的值域。
故函式的值域為：。
_5_、函式有界性法
_直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，反客為主來確定函式的值域。
適用型別：一般用於三角函式型，即利用等。
例8、求函式y_=_的值域。
______解：由原函式式可得： =_
_____＞0， ＞0
____解得：-_1＜y＜1。_
_____故所求函式的值域為(_-_1_,_1_)_._
例9、求函式y_=__的值域。
___ 解：由原函式式可得：ysinx-cosx=3y _
_____可化為： _sinx（x+β）=3y
即 sinx（x+β）=
∵x∈r，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1
______解得：-≤y≤ 故函式的值域為[-，]。
6_、函式單調性法
適用型別：一般能用於求復合函式的值域或最值。（原理：同增異減）
例10、求函式的值域。
分析與解：由於函式本身是由乙個對數函式（外層函式）和二次函式（內層函式）復合而成，故可令：配方得：由復合函式的單調性（同增異減）知：。
例11、 求函式y_=_ _（2≤x≤10）的值域
___解：令y=_， =_，則_ y ，_在[_2，_10_]上都是增函式。
___ 所以y= y +在[_2_，10_]上是增函式。
___ 當x_=_2_時，y =_+=_，
_ 當x_=_10_時， _= +=33。_
故所求函式的值域為：[_，33]。_
例12、求函式y=_-的值域。
___解：原函式可化為： y=_
___令y =_， =，顯然y_，在[1，+∞）上為無上界的增函式，所以y= y +在[1，+∞）上也為無上界的增函式。
_ _所以當x_=_1時，y=y +有最小值，原函式有最大值=_。
___顯然y＞0，故原函式的值域為(_0_,_]。_
7、換元法
___ 通過簡單的換元把乙個函式變為簡單函式，其題型特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函式的值域中同樣發揮作用。
適用型別:無理函式、三角函式（用三角代換）等。
例13、求函式y_=_x_+_的值域。
____解：令x-1=t，（t≥0）則x=+1_
____∵y=+t+1=+，又t≥0，由二次函式的性質可知
____當t=0時，y=_1，_當t_→0時，y_→+∞。
___ 故函式的值域為[_1_，+∞）。
例14、求函式y_=x+2+的值域
_ _解：因1-≥0_，即≤1_
__ 故可令x+1=cosβ，β∈[_0_，∏]_。
___∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1sin（β+∏/_4_）+1
___∵0≤β≤∏，0_≤β+∏/4≤5∏/4_
___∴ -_≤sin（β+∏/4）≤1_
___∴ 0_≤sin（β+∏/4）+1≤1
___故所求函式的值域為[0，1+]。_
例15、求函式 y=的值域
___解：原函式可變形為：y
_ 可令x=tgβ，則有=sin2β， =cos2β_
__ ∴y=-sin2βcos2β=_-sin4β _ _ _
__ 當β=_k∏/2-∏/8時， =。_
__ 當β=_k∏/2+∏/8時，y=_-
__ 而此時tgβ有意義。
___ _故所求函式的值域為[-，]_。
例16、求函式y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。
___解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1_
__ 令sinx+cosx=t，則sinxcosx=（-1）
__ y_=_（-1）+t+1=___
__ 由t=sinx+cosx=sin（x+∏/4）且x∈[-_∏/12，∏/2]_
__ 可得：≤t
_ ∴當t=時， =+，當t=時，y
__ 故所求函式的值域為[+_， +]_。
例17、求函式y=x+4+的值域
_ _解：由5-x≥0_，可得∣x∣≤
__ 故可令x_=cosβ，β∈[0，∏]_
_ y=cosβ+4+sinβ=sin（β+∏/4）+_4_
_ _∵_04≤β+∏/4≤5∏/4_
_ 當β=∏/4時， =4+，當β=∏時，y=4-。
故所求函式的值域為：[4-，4+]。
8 數形結合法
__ _ 其題型是函式解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。
適用型別:函式本身可和其幾何意義相聯絡的函式型別.
例18、求函式y=+的值域。
___ _解：原函式可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
_ _ 上式可以看成數軸上點p（x_）到定點a（2_），b（-_8_）間的距離之和。
___由上圖可知：當點p**段ab上時，
___y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣ab∣=10_
當點p**段ab的延長線或反向延長線上時，
___y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣ab∣=10_
______ 故所求函式的值域為：[10，+∞）
例19、求函式y=_+的值域
___ _解：原函式可變形為：y=+_
_上式可看成x軸上的點p（x，0）到兩定點a（3，2），b（-2_，-1_）的距離之和，
由圖可知當點p為線段與x軸的交點時y=∣ab∣=_=，
_ _故所求函式的值域為[，+∞）。
例20、求函式y=__-的值域
____ 解：將函式變形為：y=_-
上式可看成定點a（3，2）到點p（x，0_）的距離與定點b（-2，1）到點p（x，0）的距離之差。即：y=∣ap∣-∣bp∣
_由圖可知：（1）當點p在x軸上且不是直線ab與x軸的交點時，如點p，則構成△abp，根據三角形兩邊之差小於第三邊，
____有 ∣∣ap∣-∣bp∣∣＜∣ab∣=_= _
_ 即：-＜y
____（2）當點p恰好為直線ab與x軸的交點時，有
∣∣ap∣-∣bp∣∣=_∣ab∣=。_
綜上所述，可知函式的值域為注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函式式變形，使a，b兩點在x_軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使兩點a_，b在x軸的同側。
____ 如：例17的a，b兩點座標分別為：（3_，2_），（-_2_，-_1_），在x軸的同側；
求函式值域的方法方法大全
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