函式是中學數學的乙個重點,而函式值域(最值)的求解方法更是乙個常考點,因此能熟練掌握其值域(最值)求法就先得十分的重要,本節旨在通過對典型例題的講解來歸納函式值域(最值)的求法,希望對廣大讀者有所幫助。
一、 配方法
適用型別：二次函式及能通過換元法等轉化為二次函式的題型。
例1、 求函式的值域。
分析與解：本題中含有二次函式可利用配方法求解,為便於計算不妨設:配方得:利用二次函式的相關知識得,從而得出：。
說明：在求解值域(最值)時,遇到分式.根式.對數式等型別時要注意函式本身定義域的限制,本題為：。
例2、若,試求的最大值。
分析與解：本題可看成一象限動點在直線上滑動時函式的最大值。利用兩點(4,0),(0,2)確定一條直線,作出圖象易得:,y=1時,取最大值。
二、 觀察法
適用型別：根據函式圖象.性質能較容易得出值域(最值)的簡單函式。
例:求的值域.
分析與解：由絕對值函式知識及二次函式值域的求法易得：
三、 部分分式法
適用型別：分式且分子.分母中有相似的項,通過該方法可將原函式轉化為為(常數)的形式。
例：求函式的值域。
分析與解:觀察分子、分母中均含有項,可利用部分分式法；則有不妨令：從而
注意：在本題中若出現應排除,因為作為分母.所以故
另解：觀察知道本題中分子較為簡單,可令,求出的值域,進而可得到y的值域。
四、 反函式法
適用型別：分子.分母只含有一次項的函式(即有理分式一次型),也可用於其它易反解出自變數的函式型別。
例：求函式的值域。
分析與解：由於本題中分子、分母均只含有自變數的一次型,易反解出x,從而便於求出反函式。
反解得即
知識回顧：反函式的定義域即是原函式的值域。
故函式的值域為：。
五、判別式法
適用型別：分子.分母中含有二次項的函式型別，此函式經過變形後可以化為的形式，再利用判別式加以判斷。
例：求函式的值域。
分析與解：由於本題的分子、分母均為關於x的二次形式，因此可以考慮使用判別式法，將原函式變形為：整理得：當時，上式可以看成關於的二次方程，該方程的範圍應該滿足即此時方程有實根即△,
△細心的讀者不難發現，在前面限定而結果卻出現：我們是該舍還是留呢？
注意：判別式法解出值域後一定要將端點值（本題是）代回方程檢驗。
將分別代入檢驗得不符合方程，所以。
六、 換元法
適用型別:無理函式、三角函式（用三角代換）等。
例1、 求函式的值域。
分析與解：由於題中含有不便於計算，但如果令：注意從而得：變形得即：
點評：在使用換元法換元時一定要注意新變數的範圍，否則將會發生錯誤。
例2、 已知是圓上的點，試求的值域。
分析與解：在三角函式章節中我們學過：注意到可變形為：令2)則)即故
例3、試求函式的值域。
分析與解：題**現而由此聯想到將視為一整體，令由上面的關係式易得故原函式可變形為：
七、 數形結合法：
適用型別:函式本身可和其幾何意義相聯絡的函式型別.
例1、:求函式的值域.
分析與解:看到該函式的形式,我們可聯想到直線中已知兩點求直線的斜率的公式,將原函式視為定點(2,3)到動點的斜率,又知動點滿足單位圓的方程,從而問題就轉化為求點（2，3）到單位圓
連線的斜率問題,作出圖形觀察易得的最值在直線
和圓上點的連線和圓相切時取得,從而解得:
點評:本題從函式本身的形式入手,引入直線的斜率,結合圖形,從而使問題得到巧解.
例2、 求函式的值域。
分析與解：由絕對值的幾何意義知：表示數軸上的動點（不妨設為（x,0））到定點（2，0） ，（-5，0）的距離之和，結合圖形不難得到：。
八、 不等式法：
適用型別：能利用幾個重要不等式及推論來求得最值。（如：）
例1、 當時，求函式的最值，並指出取最值時的值。
分析與解：因為可利用不等式即：所以當且僅當即時取」=」當時取得最小值12。
例2、 雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（ ）。
ab 4c 2d
分析與解：根據雙曲線的離心率公式易得：，我們知道所以（當且僅當時取「=」）而故（當且僅當時取「=」）。
說明：利用均值不等式解題時一定要注意「一正，二定，三等」三個條件缺一不可。
九、 有界性法：
適用型別：一般用於三角函式型，即利用等。
例：試求函式的最大值。
分析與解：根據余弦函式二倍角公式化簡得：
十：單調性法：
適用型別：一般能用於求復合函式的值域或最值。（原理：同增異減）
例：求函式的值域。
分析與解：由於函式本身是由乙個對數函式（外層函式）和二次函式（內層函式）復合而成，故可令：配方得：由復合函式的單調性（同增異減）知：。
高中函式值域求法小結
一 觀察法 根據函式圖象 性質能較容易得出值域 最值 的簡單函式 1 求的值域。由絕對值函式知識及二次函式值域的求法易得 2 求函式的值域。分析 首先由0，得 11，然後在求其倒數即得答案。解 0 11，函式的值域為 二 配方法 當所給函式是二次函式或可化為二次函式的復合函式時，可利用配方法求值域 ...
函式值域及求法
例2 已知函式f x x 1,1 當a 時，求函式f x 的最小值.2 若對任意x 1,f x 0恆成立，試求實數a的取值範圍.命題意圖 本題主要考查函式的最小值以及單調性問題，著重於學生的綜合分析能力以及運算能力，屬 級題目.知識依託 本題主要通過求f x 的最值問題來求a的取值範圍，體現了轉化的...
函式值域求法大總結
函式值域求法十一種 1.直接觀察法 對於一些比較簡單的函式，其值域可通過觀察得到。例1.求函式的值域。解 顯然函式的值域是 例2.求函式的值域。解 故函式的值域是 2.配方法 配方法是求二次函式值域最基本的方法之一。例3.求函式的值域。解 將函式配方得 由二次函式的性質可知 當x 1時，當時，故函式...