課時作業(二十三)
1．函式y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是( )
ab．[－，]
cd．[－，－]
答案 b
解析 x∈[0，]，x＋∈[，π]，∴y∈[－，]．
2．如果|x|≤，那麼函式f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是( )
a. b．－
c．－1 d.
答案 d
解析 f(x)＝－sin2x＋sinx＋1＝－(sinx－)2＋，當sinx＝－時，有最小值，ymin＝－＝.
3．已知函式f(x)＝sin(πx＋θ)cos(πx＋θ)在x＝3時取得最小值，則θ的乙個值可以是( )
a．－ b．－
c. d.
答案 b
解析 f(x)＝sin(2πx＋2θ)，
f(3)＝sin(6π＋2θ)＝sin2θ，
此時sin2θ＝－1,2θ＝2kπ－，∴θ＝kπ－(k∈z)．
4．函式y＝12sin(2x＋)＋5sin(－2x)的最大值是( )
a．6＋ b．17
c．13 d．12
答案 c
解析 y＝12sin(2x＋)＋5cos[－(－2x)]
＝12sin(2x＋)＋5cos(2x＋)
＝13sin(2x＋＋φ)(φ＝arctan)，故選c.
5．當0＜x＜時，函式f(x)＝的最小值是( )
a. b.
c．2 d．4
答案 d
解析 f(x)＝
＝，當tanx＝時，
f(x)的最小值為4，故選d.
6．已知f(x)＝，下列結論正確的是( )
a．有最大值無最小值 b．有最小值無最大值
c．有最大值且有最小值 d．既無最大值又無最小值
答案 b
解析令t＝sinx，t∈(0,1]，則y＝1＋，t∈(0,1]是乙個減函式，則f(x)只有最小值而無最大值．另外還可通過y＝1＋，得出sinx＝，由sinx∈(0,1]也可求出，故選b.
7．函式y＝sin2x＋2cosx在區間[－π，α]上最小值為－，則α的取值範圍是________．
答案 (－π，]
解析 y＝2－(cosx－1)2，當x＝－π時，y＝－，根據函式的對稱性x∈(－π，]．
8．函式y＝sinx＋cosx在區間[0，]上的最小值為________．
答案 1
解析 y＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0，]．
∴x＋∈[，]，∴ymin＝2sin＝1.
9．函式y＝＋的最小值是________．
答案 3＋2
解析 y＝＋＝＋＝3＋＋≥3＋2，
∴ymin＝3＋2.
10．(2011·上海理)函式y＝sin(＋x)cos(－x)的最大值為________．
答案 11．(2012·東城區)已知函式f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋a，且f()＝4.
(1)求a的值；
(2)當－≤x≤時，求函式f(x)的值域．
答案 (1)a＝1 (2)[2－，4]
解析 (1)由f()＝4，可得
2×()2＋2××＋a＝4，
∴a＝1.
(2)f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋1
＝cos 2x＋sin 2x＋2
＝2sin(2x＋)＋2
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴2－≤f(x)≤4，
∴函式f(x)的值域為[2－，4]．
12．(2011·煙台質檢)設函式f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx， sin2x＋m)．
(1)求函式f(x)的最小正週期和在[0，π]上的單調遞增區間；
(2)當x∈[0，]時，f(x)的最大值為4，求m的值．
答案 (1)[0，]，[，π] (2)1
解析 (1)∵f(x)＝2cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1，
∴函式f(x)的最小正週期t＝＝π.
在[0，π]上的單調遞增區間為[0，]，[，π]．
(2)當x∈[0，]時，∵f(x)單調遞增，
∴當x＝時，f(x)取得最大值為m＋3，即m＋3＝4，
解之得m＝1，∴m的值為1.
13．(2010·湖北卷)已知函式f(x)＝cos (＋x) cos (－x)，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函式f(x)的最小正週期；
(2)求函式h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，並求使h(x)取得最大值的x的集合．
答案 (1)π (2)2
解析 (1)f(x)＝cos(＋x)cos(－x)＝(cos x－sin x)( cos x＋sin x)＝cos2x－sin2x＝－＝cos 2x－，
f(x)的最小正週期為＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos(2x＋)，
當2x＋＝2kπ(k∈z)時，h(x)取得最大值.
h(x)取得最大值時，對應的x的集合為．
14．(2012·濰坊模擬)函式f(x)＝asin(ωx＋φ)(x∈r，a>0，ω>0,0<φ<)的部分影象如圖所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)設g(x)＝[f(x－)]2，求函式g(x)在x∈[－，]上的最大值，並確定此時x的值．
答案 (1)2sin(x＋) (2)x＝時，g(x)max＝4
解 (1)由圖知a＝2，
＝，則＝4×，∴ω＝.
又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0，
∴sin(φ－)＝0，
∵0<φ<，∴－<φ－<，
∴φ－＝0，即φ＝，
∴f(x)的解析式為f(x)＝2sin(x＋)．
(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]
＝2sin(x＋)，
∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×
＝2－2cos(3x＋)，
∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，
∴當3x＋＝π，即x＝時，g(x)max＝4.
1．已知△abc中，ac＝1，∠abc＝，∠bac＝x，記f(x)＝·.
(1)求函式f(x)的解析式及定義域；
(2)設g(x)＝6m·f(x)＋1，x∈(0，)，是否存在正實數m，使函式g(x)的值域為(1，]？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．
解析 (1)由正弦定理得：＝＝，
∴bc＝sinx，ab＝，
∴f(x)＝·＝ab·bc·cos＝sinx·sin(－x)·＝(cosx－sinx)·sinx＝sin(2x＋)－(0(2)g(x)＝6m·f(x)＋1＝2msin(2x＋)－m＋1(0假設存在正實數m符合題意，∵x∈(0，)，
∴<2x＋<，則sin(2x＋)∈(，1]．
∵m>0，
∴函式g(x)＝2msin(2x＋)－m＋1的值域為(1，m＋1]．
又函式g(x)的值域為(1，]，∴m＋1＝，解得m＝，∴存在．
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