湖北省王衛華
函式作為高中數學的主線，貫穿於整個高中數學的始終.儘管對應法則是構成函式的核心，但定義域也是構成函式的重要組成部分，是構成函式的三大要素之一，是函式賴以變化的基礎，函式定義域的變化對函式圖象和性質的改變等方
面有著不容忽視的制約作用．下面就談談定義域對解題的作用與影響．
一．利用函式的定義域判斷函式是否是同一函式
例1．判斷函式與=是否同一函式？
解：∵定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，而定義域為(0，+∞)，∴f(x)與g(x)的定義域不同，∴與不是同一函式．
評析：由此題得到乙個重要結論：在化簡函式表示式時要在原函式定義域上等價變化，也就是說定義域在函式解析式變形化簡中有重要的作用．
二．函式定義域是構成函式關係式的重要組成部分
函式關係式包括定義域和對應法則，所以在求函式關係式時必須考慮所求函式的定義域，否則所求函式關係式就可能出錯.另外，根據函式定義可知函式定義域是非空的數的集合，若乙個關係式中某乙個變數取值範圍的集合是空集，那麼這個關係式中的幾個變數之間就不能構成乙個函式關係式．
例2．把截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，求矩形面積s與矩
形長x的函式關係式.
解：設矩形的長為cm，則寬為cm，由題意得：
，故所求的函式關係式為：.
如果解題到此為止，則本題的函式關係式還欠完整，缺少自變數的範圍，解題思路還不夠嚴密．因為當自變數取負數或不小於50的數時，s的值是負數或零，即矩形的面積為非正數，這與實際問題相矛盾，故還要補上自變數的範圍：，所以函式關係式為：（）.
評析：從此例可以看出，用函式方法解決實際問題時，必須要注意到函式定義域的取值範圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，結果很有可能出錯.
例3．判斷式子y=是否為函式關係式．
解：要使上面的式子有意義，則1-x2≥0且x2-1>0，其解集為空集，由函式定義可知這個式子不表示函式關係式．
評注：解題時若忽視了定義域的作用，則很可能得到乙個錯誤結果．
三．函式定義域對函式值域的限制作用
函式的值域是指全體函式值的集合，當定義域和對應法則確定後，函式值也隨之而定.因此在求函式值域時，應特別注意函式定義域.
例4．求函式的值域．
錯解：令
∴，故所求的函式值域是．
剖析：換元後，而函式在[0，+∞)上是增函式，
所以當t=0時，ymin=3．故所求的函式值域應為[3，+∞)．
評析：由此例可看出變數的允許值範圍是何等的重要，特別是變數隱含的取值範圍，對整個解題過程，以及對最後的結論都起到至關重要的作用．若能發現變數隱含的取值範圍，精細地檢查解題思維過程，檢驗已經得到的結果，就可以避免以上錯誤結果的產生.
四．函式定義域對函式奇偶性的作用
由函式奇偶性定義可知：函式定義域關於原點對稱是函式有奇偶性的必要條
件，若乙個函式的定義域不關於原點對稱，則此函式就一定不具有奇偶性．故判斷函式奇偶性時，應優先考慮該函式的定義域區間是否關於座標原點成中心對稱，再用奇偶性定義加以判斷．
例5．判斷函式y=(1+x)的奇偶性．
解：要使函式有意義必有，則-1評析：如果求解時不注意函式定義域，那麼就會得到如下錯誤結論：
∵，∴，∴函式y=(1+x)是偶函式．故在解題過程中要求定義域並判斷該定義域區間是否關於原點成中心對稱，而直接用定義加以判斷造成失誤是造成結論錯誤的主要原因．
五．函式定義域對函式週期性的作用
由函式週期定義可知：若正數t是函式的週期，則x+t也在函式的定義域內，再由數學歸納法可知也是這個函式的週期，從而x+nt也在這個定義域內，故週期函式的定義域至少有一端到無窮．
例6：判斷函式y=sinx，x∈[0，6π]的週期性．
解：因為函式y=sinx，x∈[0，6π]的定義域為有限區間(這裡不再做過多的解釋)，故此函式不是週期函式．
六．函式定義域對函式單調區間的作用
函式單調性是指函式在給定的定義域區間上函式自變數增加時，函式值隨著增減的情況，而函式的單調區間是函式定義域的子集，所以討論函式單調性一定要在函式的定義域內討論函式的單調區間．
例7．指出函式的單調區間．
解：要使函式有意義必有，∴
∴ 函式定義域為．則在上時為減函式，
在上為增函式. 又∵，
∴函式在上是減函式，在上是增函式.
∴的單調遞增區間是，單調遞減區間是.
評析：如果在做題時，沒有在定義域的幾個區間上分別考慮函式的單調性，就會得到錯誤結論，這就說明學生對函式單調性的概念一知半解，在做練習或作業時，只是對題型套公式，而不是去領會解題方法的實質，這也說明學生的思維缺乏深刻性.
七．函式定義域對求反函式的影響
有些函式本身不存在反函式，但在其單調區間內存在反函式，在求這類函
數的反函式時，除注意其值域外，也要注意定義域，否則容易出差錯．
例8．求函式的反函式．
錯解：函式的值域為y [2 , 6]，
又，即，∴，
∴所求的反函式為y=2 ±(2≤x≤6)．
評析：上述解法中忽視了原函式的定義域，沒有對x進行合理取捨，
從而得出了乙個錯誤的表示式．由於0≤x≤2，顯然x-2≤0，
∴所求的反函式為y=2- (2≤x≤6)．
八．函式定義域對解不等式、方程或求值的作用
我們在解不等式或方程時要時刻注意未知量的取值範圍，因為我們所解的結果要適合原不等式或方程．另外有時巧用函式的定義域，可以避免複雜的變形與討論，不但可以保證解答過程圓滿正確，而且起到了化難為易，事半功倍的作用．
例9．設x、y為實數，且，試求lg(x+y)之值．
解：x應滿足，即x＝1，將其代入已知等式，得y＝0，
故lg(x+y)=lg1=0．
評析：本題關鍵在於把已知等式看作是x的函式，先求出x的取值範圍，由已知等式求出實數x、y的值，問題就可迎刃而解．
總之，函式定義域在求解函式關係式、最值(值域)、單調性、奇偶性、優化計算等方面有著令人矚目的解題功能，正確地掌握和應用定義域是我們解決問題的有效戰術，強化這方面的訓練，對於培養良好的思維品質，提高解題的靈活性和準確性有著十分積極的意義．
函式定義域的作用
摘要 本文主要從五個方面通過舉例來闡述定義域的作用，強調定義域在解有關函式問題重要性，培養學生嚴謹敏銳的思維能力。關鍵詞 函式定義域對應法則 函式是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函式的定義域是構成函式的三大要素之一，是確定函式圖象與解析式的關鍵，在函式中有著很重要...
求函式的定義域
三角函式公式和重要結論 1 圓心角的弧度數 其中代表弧長,r代表圓的半徑.2 弧度 180o,1弧度 57.30o s扇形 3 與終邊相同的角的公式 k360o 其中k 4 第一象限的角 2k 2k 其中k其他象限依此類推。x軸上的角 k y軸上的角 k 其中k 5 任意角的三角函式 點p x,y ...
專題 函式的定義域
函式概念及其定義域 函式的概念 設是非空數集，如果按某個確定的對應關係，使對於集合中的任意乙個，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼就稱為集合到集合的函式，記作 其中叫自變數，的取值範圍叫做函式的定義域 與的值相對應的的值叫做函式值.一 常規型 已知函式的解析式，若未加特殊說明，則定義域是使解析式...