函式定義域的作用

摘要：本文主要從五個方面通過舉例來闡述定義域的作用，強調定義域在解有關函式問題重要性，培養學生嚴謹敏銳的思維能力。

關鍵詞：函式定義域對應法則

函式是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函式的定義域是構成函式的三大要素之一，是確定函式圖象與解析式的關鍵，在函式中有著很重要的作用。看似函式的定義域（或變數的允許值範圍）非常簡單，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。

現就函式定義域的作用小結如下：

一、確定函式關係式

函式關係式包括定義域和對應法則，所以在求函式的關係式時必須要考慮所求函式關係式的定義域，否則所求函式關係式可能是錯誤。如：

例1：某單位計畫建築一矩形圍牆，現有材料可築牆的總長度為100m，求矩形的面積s與矩形長x的函式關係式？

解：設矩形的長為x公尺，則寬為（50-x）公尺，由題意得：

故函式關係式為：.

如果解題到此為止，則本題的函式關係式還欠完整，缺少自變數的範圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變數取負數或不小於50的數時，s的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變數的範圍：

即：函式關係式為：（）

這個例子說明，在用函式方法解決實際問題時，必須要注意到函式定義域的取值範圍對實際問題的影響。

二、確定函式最值

函式的最值是指函式在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：

例2：求函式在[-2，5]上的最值.

解：∵∴ 當時，

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在於學生是按照求二次函式最值的思路，沒有注意到定義域的限制。

其實以上結論只是對二次函式在r上適用，而在指定的定義域區間上，它的最值應分如下情況：

⑴ 當時，在上單調遞增函式

；⑵ 當時，在上單調遞減函式

；⑶ 當時，在上最值情況是：

，.即最大值是中最大的乙個值。