詞·清平樂
禁庭春晝，鶯羽披新繡。
百草巧求花下鬥，只賭珠璣滿斗。
日晚卻理殘妝，御前閒舞霓裳。誰道腰肢窈窕，折旋笑得君王。
解析幾何教學中應滲透平面向量方法
武山縣第三高階中學王建華
平面向量是高中數學教材改革新增加的內容之一，它是既有大小，又有方向的乙個幾何量.也就是說，平面向量既能像實數一樣進行運算，也有直觀的幾何意義，是數與形的有機結合，可靈活實現形與數的相互轉化.平面向量理論滲透在解析幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題，其方法是將幾何問題座標化、符號化、數量化，從而將推理、求解問題轉化為向量運算，完全變成了代數問題.
一、確定直線的兩個重要向量
1、直線的方向向量
我們已經知道，兩點確定一條直線，把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1，由p1（x1 , y1）、p2（x2 , y2）確定直線p1p2 的方向向量是
p1p2 =（x2 - x1 , y2 - y1）.
當直線p1p2與x軸不垂直時有x2≠x1 , 這時
直線的斜率為
而向量 p1p2也是直線p1p2的方向向量，它的座標是
（x2 - x1 , y2 - y1）.
即(1,k) 就是直線p1p2的方向向量,其中k是直線p1p2的斜率.
2、直線的法向量
和直線垂直的向量都稱為該直線的法向量.如圖2,設直線l有法向量n=(a,b),且經過點p0(xo,yo),取直線l上任一點p(x,y),滿足n⊥p0p,因為 p0p=（x – xo , y – yo）,根據向量垂直的充要條件得
a（x – xo）+b( y – yo) = 0
這個二元一次方程由直線l上
一點p0(xo,yo) 及直線的法向量n=(a,b)
確定,稱為直線的點法式方程.
反過來,如果直線l有一般方程ax+by+c=0（a、b不同時為0）,（1）若a≠0時，該方程可化為
a(x +)+b(y - 0) = 0
這是過點(-,0),且法向量為n=(a,b) 的點法式直線方程；
（2）若b≠0時，該方程可化為
a(x -0)+b(y +) = 0
這是過點(0,-),且法向量為n=(a,b) 的點法式直線方程.
因此,n=(a,b)就是直線ax+by+c=0的法向量.
設向量a=(-b,a),由a與n的數量積
a·n = -b×a+a×b=0
所以a⊥n,從而向量a=(-b,a)是直線ax+by+c=0的方向向量.
由於直線的方向向量、法向量可以從直線的一般式直接寫出,應用這兩個重要向量解決某些問題比較便捷.
二、平面向量與直線間的位置關係
設直線l1與l2的方程分別是
l1 :a1x+b1y+c1=0
l2 :a2x+b2y+c2=0
那麼，n1=( a1, b1)和n2=( a2, b2)分別是直線l1與l2的法向量.
(1)如果l1∥l2 ,那麼n1∥n2, 而n1∥n2的充要條件是n1=λn2
得消去λ得a1b2-a2b1=0
由此可知, a1b2-a2b1=0是直線l1∥l2的充要條件.當a2 b2≠0時可表示為，即對應座標成比例.
(2) 如果l1⊥l2 ,那麼n1⊥n2, 反過來也正確.而n1⊥n2的充要條件是n1·n2=0, 得a1 a2+b1 b2=0,
所以直線l1⊥l2的充要條件是a1 a2+b1 b2=0.
例1（2023年上海高考卷16題） 設a、b、c分別是△abc中∠a、∠b、∠c的對邊的邊長，則直線sina·x+ay+c=0與直線bx-sinb·y+sinc=0的位置關係是
a平行 b重合 c垂直 d相交但不垂直
解析：易知兩直線的法向量分別是n1=( sina,a)和n2=( b,-sinb)
由正弦定理知，即bsina+a(-sinb)=0
∴ n1·n2=0 有n1⊥n2，所以兩直線是垂直的，選c
(3)更一般地,由直線的法向量可求兩直線的夾角.設直線l1與l2的夾角為α,其法向量的夾角為θ,則α=θ或α=π-θ,
所以cosα=|cosθ|.
由向量的夾角公式,及n1·n2 =a1 a2+b1 b2 、
| n1|=、| n2|=得兩直線的夾角公式為
例2(2023年全國高考文科8題)已知兩直線l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a為實數,當這兩條直線的夾角在(0,)內變動時,a的取值範圍是
a(0,1) b(,) c(,1) (1,) d(1,)
解析:兩直線的法向量分別為(1,-1)、（a,-1）,由夾角公式得
=，夾角α在(0,)變動時，
有,於是得<<1，
解這個不等式得
三、平面向量與解析幾何中角的問題
任意兩個不共線的非零向量a=(x1,y1)、b =(x2,y2)，由夾角公式知, cosθ的正負直接由分子x1 x2+y1 y2來確定，於是得到如下結論：
（1） 若θ為銳角x1 x2+y1 y2>0 ,即a·b>0
（2） 若θ為直角x1 x2+y1 y2=0 ,即a·b=0
（3） 若θ為鈍角x1 x2+y1 y2<0 ,即a·b<0
因此，兩個向量夾角的範圍由它們的數量積的正負所確定.
例3（2023年全國高考8題）設f1和f2為雙曲線的兩個焦點，點p在雙曲線上且滿足∠f1p f2=90°，則△f1p f2的面積是
a 1 b c 2 d
解析：易知f1（-,0）和f2（,0），設p點座標為（xo,yo）,
∴ f1 p=( xo+, yo), f2 p=( xo-, yo).
由∠f1p f2=90°知f1p· f2 p=0於是得
( xo+)( xo-)+=0 即+-5=0 ①
又點p（xo,yo）在雙曲線上， 有②
聯立①②可得 ，
∴s△f1p f2=,故選a
例4（2023年全國高考14題）橢圓的焦點為f1 、f2，點p為其上一動點，當∠f1p f2為鈍角時，點p的橫座標的取值範圍是_______.
解析：易知a=3,b=2，故c=.
∴f1（-,0）,f2（,0）,
設p(x,y)，則p f1=（--x ,y）, p f2=（-+x ,y）
由∠f1p f2是鈍角得 p f1·p f2 <0
∴<0 即x2+y2-5<0①
又點p(x,y)在橢圓上, 得②
聯立①②得
∴- < x <
四、平面向量與解析幾何中共線問題
三點共線是解析幾何中常見問題之一，用向量法解決共線問題思路顯得直接了當.一般方法是根據向量共線的充要條件,只要在三點中任意兩點的向量間存在倍數關係就行了.就是說三點a、b、c共線,僅要ab=λac或ab=λbc （λ∈r） 成立.
用座標表示 , 如果a(x1, y1) , b(x2 , y2), c(x3 , y3)三點共線 , 有(x2 -x1, y2 -y1) =λ(x3 -x1, y3 -y1)，消去λ得 (x2 -x1) (y3 -y1) -(x3 -x1) (y2 -y1)=0
或( x3≠x1 ，y3 ≠y1).
例5(2023年全國高考19題) 設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為f，經過點f的直線交拋物線於a、b兩點，點c在拋物線的準線上，且bc∥x軸，求證：直線ac經過原點o.
解析：設a（x1,y1），b（x2,y2），f（,0）
由bc∥x軸得c（-, y2）
∴fa=（x1-, y1），fb =（x2-,y2）
oa=（x1,y1）， oc =（-, y2）
∵fa與 fb共線
∴（x1-）y2 -（x2-）y1=0，而x1=， x2=代入上式得
y1 y2= -p2
又∵∴oa與oc是共線向量，即a、o、c三點共線
∴直線ac經過原點o.
例6(2023年全國高考22題)已知常數a>0，在矩形abcd中，ab=4，bc=4a，o為ab的中點，點e、f、g分別在bc、cd、da上移動，且，p為ge與of的交點（如圖4），
問是否存在兩個定點，使p到這兩點的距離和
為定值？若存在，求出這兩點的座標及此定值；
若不存在，請說明理由。
解析：設a（-2，0），b（2，0），
c（2，4a），d（-2，4a），p（x,y）.
由點f在直線op上得f（,4a），則cf=2a-.
又由得到be=2 a -，
於是e（2 , 2a-），g（-2 , 2a+）
因g、p、e三點共線得
化簡為2a2x2+y2-2ay=0
即（1）當a2 =時，點p的軌跡是圓弧，所以不存在符合題意的兩點；
（2）當a2 ≠時，點p的軌跡是橢圓的一部分，點p到該橢圓焦點的距離的和為定長：
①當a2 《時，即0②當a2 >時，即a >時，點p到橢圓兩個焦點(0,a-),(0,a+)的距離的和為定長2a
五、平面向量與解析幾何中軌跡問題
軌跡問題是近年來高考題的熱點問題之一，其本質是求出點的方程，利用向量法求軌跡方程要比距離公式簡潔得多.
例7(2023年北京、安徽春季高考22題)設點a和b為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點,已知oa⊥ob,om⊥ab,點m為垂足,求點m的軌跡方程並說明它是什麼曲線?
解析：設m（x,y），a（p, 2pt1），b（p, 2pt2）(其中t1,t2為正引數)，則 oa =（p, 2pt1）, ob =（p, 2pt2）
ab=( p- p,2pt2- 2pt1) ,om =（x,y）.
∵oa⊥ob ∴oa· ob=0
即p p +2pt1 2pt2=0
∴t1 t2= -4①
同理( p- p)x+(2pt2- 2pt1)y=0
∴(t1 +t2)x+2y=0②
又∵a、b、m三點共線
∴③聯立①②③中消去t1,t2得x2+y2-4px=0
因為a、b是原點以外的點，所以x≠0.點m的軌跡是以(2p,0)為圓心以2p為半徑的圓，去掉座標原點.
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