2011高考專題：解析幾何常規題型及方法
一、高考風向分析：
高考解析幾何試題一般共有3--4題(1--2個選擇題, 0--1個填空題, 1個解答題), 共計20多分, 考查的知識點約為20個左右，其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查。選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線中的基礎知識，大多概念性較強，小巧靈活，思維多於計算；而解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點及其綜合運用,重在考察直線與圓錐曲線的位置關係、軌跡方程，以向量為載體，立意新穎，要求學生綜合運用所學代數、三角、幾何的知識分析問題，解決問題。
二、本章節處理方法建議：
縱觀2023年全國各省市18套文、理高考試卷，普遍有乙個規律：佔解幾分值接近一半的填空、選擇題難度不大，中等及偏上的學生能將對應分數收入囊中；而佔解幾分值一半偏上的解答題得分很不理想，其原因主要體現在以下幾個方面：（1）解析幾何是代數與幾何的完美結合，解析幾何的問題可以涉及函式、方程、不等式、三角、幾何、數列、向量等知識，形成了軌跡、最值、對稱、範圍、參係數等多種問題，因而成為高中數學綜合能力要求最高的內容之一（2）解析幾何的計算量相對偏大（3）在大家的「拿可拿之分」的理念下，大題的前三道成了兵家必爭之地，而排放位置比較尷尬的第21題或22題（有時20題）就成了很多人遺忘的角落，加之時間的限制，此題留白的現象比較普遍。
鑑於解幾的特點，建議在複習中做好以下幾個方面．1．由於高考中解幾內容彈性很大。有容易題，有中難題。因此在複習中基調為狠抓基礎。
不能因為高考中的解幾解答題較難，就拼命地去搞難題，套新題，這樣往往得不償失；端正心態：不指望將所有的題攻下，將時間用在鞏固基礎、對付「跳一跳便可夠得到」的常規題上，這樣複習，高考時就能保證首先將選擇、填空題拿下，然後對於大題的第乙個小問爭取得分，第二小題能拿幾分算幾分。
三、高考核心考點
1、準確理解基本概念（如直線的傾斜角、斜率、距離、截距等）
2、熟練掌握基本公式（如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、定比分點的座標公式、到角公式、夾角公式等）
3、熟練掌握求直線方程的方法（如根據條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是否為0等等）
4、在解決直線與圓的位置關係問題中，要善於運用圓的幾何性質以減少運算
5、了解線性規劃的意義及簡單應用
6、熟悉圓錐曲線中基本量的計算
7、掌握與圓錐曲線有關的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關點法、引數法、交軌法、幾何法、待定係數法等）
8、掌握直線與圓錐曲線的位置關係的常見判定方法，能應用直線與圓錐曲線的位置關係解決一些常見問題
四、常規題型及解題的技巧方法
a:常規題型方面
（1）中點弦問題
具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為，，代入方程，然後兩方程相減，再應用中點關係及斜率公式，消去四個引數。
典型例題給定雙曲線。過a（2，1）的直線與雙曲線交於兩點及，求線段的中點p的軌跡方程。
分析：設，代入方程得，。
兩式相減得
。又設中點p（x,y），將，代入，當時得
。又，代入得。
當弦斜率不存在時，其中點p（2，0）的座標也滿足上述方程。
因此所求軌跡方程是
說明：本題要注意思維的嚴密性，必須單獨考慮斜率不存在時的情況。
變式練習：
給定雙曲線2x2 - y2 = 2 ，過點b(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交於兩點q1、q2 兩點，且點b是線段q1q2的中點？如果直線l存在，求出它的方程;如果不存在,說明理由.
（2）焦點三角形問題
橢圓或雙曲線上一點p，與兩個焦點、構成的三角形問題，常用正、餘弦定理搭橋。
典型例題設p(x,y)為橢圓上任一點，，為焦點，，。
（1）求證離心率；
（2）求的最值。
分析：（1）設，，由正弦定理得。
得 ，
（2）。
當時，最小值是；
當時，最大值是。
變式練習：
設、分別是雙曲線（a>0,b>0）的左、右兩個焦點，p是雙曲線上的一點，若∠p=θ,求證：s△=bcot
（3）直線與圓錐曲線位置關係問題
直線與圓錐曲線的位置關係的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程後利用判別式，應特別注意數形結合的辦法
典型例題
（1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點
（2）設直線與拋物線的交點為a、b，且oa⊥ob，求p關於t的函式f(t)的表示式。
（1）證明：拋物線的準線為
由直線x+y=t與x軸的交點（t，0）在準線右邊，得
故直線與拋物線總有兩個交點。
（2）解：設點a(x1，y1)，點b(x2，y2)
變式練習：
直線y=ax+1與雙曲線3x2－y2=1交於兩點a、b兩點
(1)若a、b都位於雙曲線的左支上，求a的取值範圍
(2)當a為何值時，以ab為直徑的圓經過座標原點？
（4）圓錐曲線的有關最值（範圍）問題
圓錐曲線中的有關最值（範圍）問題，常用代數法和幾何法解決。
<1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。
<2>若命題的條件和結論體現明確的函式關係式，則可建立目標函式（通常利用二次函式，三角函式，均值不等式）求最值。
典型例題
已知拋物線y2=2px(p>0)，過m（a,0）且斜率為1的直線l與拋物線交於不同的兩點a、b，|ab|≤2p
（1）求a的取值範圍；（2）若線段ab的垂直平分線交x軸於點n，求△nab面積的最大值。
分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關係的問題，對於（1），可以設法得到關於a的不等式，通過解不等式求出a的範圍，即：「求範圍，找不等式」。
或者將a表示為另乙個變數的函式，利用求函式的值域求出a的範圍；對於（2）首先要把△nab的面積表示為乙個變數的函式，然後再求它的最大值,即：「最值問題，函式思想」。
解：(1)直線l的方程為：y=x-a,將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：
設直線l與拋物線兩交點的座標分別為a（x1,y1）,b(x2,y2)，則,又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得:(2)設ab的垂直平分線交ab與點q，令其座標為（x3,y3），則由中點座標公式得：
,所以|qm|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△mnq為等腰直角三角形，所以|qm|=|qn|=，所以s△nab=,即△nab面積的最大值為2。
變式練習：
雙曲線（a>0,b>0）的兩條準線間的距離為3，右焦點到直線x+y-1=0的距離為
（1）求雙曲線的方程
（2）設直線y=kx+m(k且m)與雙曲線交於兩個不同的點c、d，若a(0,-1)且=，求實數m的取值範圍
（5）求曲線的方程問題
1．曲線的形狀已知--------這類問題一般可用待定係數法解決。
典型例題
已知直線l過原點，拋物線c 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點a（-1，0）和點b（0，8）關於l的對稱點都在c上，求直線l和拋物線c的方程。
分析：曲線的形狀已知，可以用待定係數法。
設出它們的方程，l：y=kx(k≠0),c:y2=2px(p>0)
設a、b關於l的對稱點分別為a/、b/，則利用對稱性可求得它們的座標分別為：
a/（），b（）。因為a、b均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.
所以直線l的方程為：y=x,拋物線c的方程為y2=x.
變式練習：
在面積為1的△pmn中，tanm=,tann=-2,建立適當的座標系，求出以m、n為焦點且過點p的橢圓方程。
2．曲線的形狀未知-----求軌跡方程
典型例題
已知直角座標平面上點q（2，0）和圓c：x2+y2=1, 動點m到圓c的切線長與|mq|的比等於常數（>0）,求動點m的軌跡方程，並說明它是什麼曲線。
分析：如圖，設mn切圓c於點n，則動點m組成的集合是：p=，由平面幾何知識可知：
|mn|2=|mo|2-|on|2=|mo|2-1，將m點座標代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.
當=1時它表示一條直線；當≠1時，它表示圓。這種方法叫做直接法。
變式練習：
過拋物線y=4x的焦點f作斜率為k的弦ab，且≤8，此外，直線ab和橢圓3x+2y=2交於不同的兩點。
（1）求直線ab的斜率k的取值範圍
（2）設直線ab與橢圓相交於c、d兩點，求cd中點m的軌跡方程
（6） 存在兩點關於直線對稱問題
在曲線上兩點關於某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。（當然也可以利用韋達定理並結合判別式來解決）
典型例題已知橢圓c的方程，試確定m的取值範圍，使得對於直線，橢圓c上有不同兩點關於直線對稱。
分析：橢圓上兩點，，代入方程，相減得
。 又，，，代入得。
又由解得交點。
交點在橢圓內，則有，得。
變式練習：
為了使拋物線上存在兩點關於直線對稱，求m的取值範圍。
（7）兩線段垂直問題
圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的座標運算來處理。
典型例題已知直線的斜率為，且過點，拋物線，直線與拋物線c有兩個不同的交點（如圖）。
（1）求的取值範圍；
（2）直線的傾斜角為何值時，a、b與拋物線c的焦點連線互相垂直。
分析：（1）直線代入拋物線方程得，
由，得。
（2）由上面方程得，
，焦點為。
由，得，或
變式練習：
經過座標原點的直線與橢圓相交於a、b兩點，若以ab為直徑的圓恰好通過橢圓左焦點f，求直線的傾斜角。
b:解題的技巧方面
在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用「設而不求」的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：
（1）充分利用幾何圖形
解析幾何的研究物件就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，並結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。
解析幾何在高中數學中的應用及解題方法
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高中數學解析幾何解題方法
高考專題 解析幾何常規題型及方法 本章節處理方法建議 縱觀2006年全國各省市18套文 理高考試卷，普遍有乙個規律 佔解幾分值接近一 半的填空 選擇題難度不大，中等及偏上的學生能將對應分數收入囊中 而佔解幾分值一 半偏上的解答題得分很不理想，其原因主要體現在以下幾個方面 1 解析幾何是代數與 幾何的...