函式的定義域和值域

第一講求函式的定義域和值域的方法

函式是刻畫客觀事物發展變化，反映變數之間的相互依賴關係的一種數學模型. 函式有著極為豐富的現實存在背景，在科學研究和社會實踐中的應用十分廣泛，無論是在研究物體的運動變化、經濟發展的規律，還是在處理社會生活問題中，都離不開函式，函式也是近代數學的重要基礎，因此，函式的知識、思想、方法是當代社會公民必備的數學素養.

初中代數初步介紹了函式，揭示了函式是刻畫某一變化過程中兩個變數之間的對應關係的本質，高中代數則是在集合與對映的基礎上進一步闡述函式的概念，使之更具有一般性. 函式的定義域是使函式的解析式有意義的自變數的取值範圍，它是函式的乙個不可缺少的組成部分，離開定義域就無法研究函式的其他性質. 值域是全體函式值所組成的集合，在大多數情況下，一旦定義域和對應法則確定，函式的值域也隨之確定.

研究函式首先應當研究求函式的定義域和值域的方法，它是研究函式性質的前提和基礎.

一、求函式的定義域的方法

給出乙個函式時，應該明確這個函式的定義域，一般說來，在不加說明時，函式的定義域就是使函式的解析式有意義的自變數的取值範圍. 下面分別用例題來說明求函式的定義域的方法.

1．直接利用函式的解析式求函式的定義域

例1 求下列函式的定義域：

（1）；（2）

2．求形如（為常數）的函式的定義域的方法

例2 (1) 已知的定義域為，求函式的定義域；

(2) 已知的定義域為，求的定義域.

3．求實際問題中的函式定義域的方法

例 3 汽車的油箱是長方體形狀的容器，設它的長、寬、高分別為acm, bcm, ccm, 汽車開始行駛時油箱內裝滿汽油，已知汽車的耗油量是n cm3/km. 試求汽車行駛的路程y（km）與油箱內剩餘油量的液面高度x(cm)的函式關係式，並指出它的定義域.

4．求含有引數的函式的定義域的方法

例4 求函式（）的定義域.

二、求函式的值域的方法

求函式的值域是乙個比較複雜的問題，常用的方法有：配方法，分離係數法，判別式法，換元法，反函式法，不等式法，圖象法，下面通過例題介紹這些方法.

1．配方法

這種方法適用於求二次函式或與二次函式密切相關的函式的值域，將函式解析式進行配方整理後，即可求出值域。

例5 求下列函式的值域：

（1）；（2）

2．分離係數法

這種方法主要用於具有分式形式的函式解析式，通過變形，將函式化成的形式，其中a, b為常數，為整式，這樣即可求出函式的值域.

例6 求下列函式的值域：（1）；（2）

3．判別式法

把看作關於 x的方程，因為函式的定義域為非空數集，所以，這個二次方程一定有解，則判別式，由此可得關於y的不等式，通過解這個不等式可以求出函式的值域.

例7 求下列函式的值域：（1）；（2）

4．換元法

這種方法主要用於含有二次根式的函式解析式，通過換元，把解析式化為二次函式的形式，然後求出值域。

例8 求下列函式的值域：

（1）；（2）；（3）

5．反函式法

由反函式的性質可知，函式的定義域，正好是它的反函式的值域，函式的值域，正好是它的反函式的定義域. 因此，我們可以利用反函式的定義域求原函式的值域.

例9 求下列函式的值域：（1）；（2）

6．不等式法

這種方法主要是利用均值不等式方面的知識求出函式的最值，從而求出函式的值域.

例10 求函式的值域.

7．圖象法

例11 求函式的值域.

8．利用函式的單調性求值域

例12 求函式的值域.

由於函式的定義域與對應法則直接制約著函式的值域，所以有些較簡單的問題可以直接利用函式的解析式求得結果，但更多的問題需要利用上面介紹的方法來解決. 另外，對於某些函式，可以利用多種方法求出值域，例如，對於函式，既可以利用分離係數法，又可以用判別式法求出值域.

函式的定義域和值域

函式的定義域和值域

定義域和值域

函式的定義域與值域

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