第二章第二節函式的定義域和值域
1.(文)(2009·江西高考)函式y＝的定義域為
a.[－4,1] b.[－4,0) c.(0,1] d.[－4,0)∪(0,1]
解析：求y＝的定義域，
即[－4,0)∪(0,1].
答案：d
(理)(2009·江西高考)函式y＝的定義域為
a.(－4，－1) b.(－4,1) c.(－1,1) d.(－1,1]
解析：定義域－1＜x＜1.
答案：c
2.若函式y＝的定義域為r，則實數m的取值範圍是
a.(0，) b.(－∞，0)∪(0，＋∞) c.(－∞，0d.[0，)
解析：依題意，函式的定義域為r，
即mx2＋4mx＋3≠0恆成立.
①當m＝0時，得3≠0，故m＝0適合，可排除a、b.
②當m≠0時，16m2－12m<0，
得0答案：d
3.若函式f(x)的定義域是[0,1]，則f(x＋a)·f(x－a)(0＜a＜)的定義域是 .
解析：∵f(x)的定義域為[0,1]，
∴要使f(x＋a)·f(x－a)有意義，
須且0答案：[a,1－a]
4.若函式f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定義域和值域都為r，則a的取值範圍是( )
或>3或a<－1d.－1解析：若a2－2a－3≠0，則函式為二次函式，不可能定義域和值域都為r，當a2－2a－3＝0時，得a＝－1或3，但當a＝3時，函式為常數函式，也不可能定義域和值域都為r，故a＝－1.
答案：b
5.若函式y＝f(x)的值域是[，3]，則函式f(x)＝f(x)＋的值域是
a.[，3] b.[2，] cd.[3，]
解析：令t＝f(x)，則≤t≤3，由函式g(t)＝t＋在區間[，1]上是減函式，在[1,3]上是增函式，則g()＝，g(1)＝2，g(3)＝，故值域為[2，].
答案：b
6.對a，b∈r，記max＝.函式f(x)＝max(x∈r)的最小
值是a.0bcd.3
解析：函式f(x)＝max(x∈r)的圖象如圖所示，
由圖象可得，其最小值為.
答案：c
7.(2010·珠海模擬)若函式y＝f(x)的值域是[1,3]，則函式f(x)＝1－2f(x＋3)的值域是 .
解析：∵1≤f(x)≤3，
∴－6≤－2f(x＋3)≤－2，
∴－5≤1－2f(x＋3)≤－1，
即f(x)的值域為[－5,1].
答案：[－5,1]
8.分別求下列函式的值域：
(1)y＝；
(2)y＝－x2＋2x(x∈[0,3])；
(3)y＝x＋；
(4)y＝.
解：(1)分離變數法將原函式變形為
y＝＝2＋.
∵x≠3，∴≠0.
∴y≠2，即函式值域為.
(2)配方法
∵y＝－(x－1)2＋1，根據二次函式的性質，可得原函式的值域是[－3,1].
(3)換元法
先考慮函式定義域，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，設x＝cosθ(θ∈[0，π])，則y＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)，易知當θ＝時，y取最大值為，當θ＝π時，y取最小值為－1，
∴原函式的值域是[－1，].
(4)分離常數法
y＝∵1＋2x＞1，∴0＜＜2，
∴－1＜－1＋＜1，∴所求值域為(－1,1).
9.(2010·福建「四地六校」聯考)設集合a＝[0，)，b＝[，1]，函式f (x)＝若x0∈a，且f [f (x0)] ∈a，則x0的取值範圍是
a.(0，] b.[，] cd.[0，]
解析：∵0≤x0＜，∴f(x0)＝x0＋∈[，1) b，
∴f[f(x0)]＝2(1－f(x0))＝2[1－(x0＋)]＝2(－x0).
∵f[f(x0)]∈a，∴0≤2(－x0)＜.
∴＜x0≤，又∵0≤x0＜，∴＜x0＜.
答案：c
10.設f(x)＝若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，則函式y＝g(x)的值域是 ( )
a.(－∞，－1]∪[1b.(－∞，－1]∪[0，＋∞)
c.[0d.[1，＋∞)
解析：如圖為f(x)的圖象，由圖象知f(x)的值域為(－1，＋∞)，
若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).
答案：b
11.規定記號「*」表示一種運算，即a*b＝＋a＋b，a，b是正實數，已知1]；
(2)函式f(x)＝k*x的值域是 .
解析：(1)1]k)＋1＋k＝3，解得k＝1.
(2)f(x)＝k*x＝1]x)＋1＋x≥1.
答案：(1)1 (2)[1，＋∞)
12.已知函式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈r，c∈r).
(1)若函式f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
f(x)＝求f(2)＋f(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區間(0,1]恆成立，試求b的取值範圍.
解：(1)由已知c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2.
∴f(x)＝(x＋1)2.
∴f(x)＝
∴f(2)＋f(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由題知f(x)＝x2＋bx，原命題等價於－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]恆成立，即b≤－x且b≥－－x在x∈(0,1]恆成立，
根據單調性可得－x的最小值為0，
－－x的最大值為－2，
所以－2≤b≤0.
函式的定義域和值域
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