一、定義域是函式y=f(x)中的自變數x的範圍。
求函式的定義域需要從這幾個方面入手：
（1）分母不為零
（2）偶次根式的被開方數非負。
（3）對數中的真數部分大於0。
（4）指數、對數的底數大於0，且不等於1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。
( 6 )中x
二、值域是函式y=f(x)中y的取值範圍。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）圖象法（數形結合3）函式單調性法
（4）配方法 （5）換元法 （包括三角換元） （6）反函式法（逆求法）
（7）分離常數法 （8）判別式法9）復合函式法
（10）不等式法 （11）平方法等等
這些解題思想與方法貫穿了高中數學的始終。
三、典例解析
1、定義域問題
例1 求下列函式的定義域：
①；②；③
解：①∵x-2=0，即x=2時，分式無意義，
而時，分式有意義，∴這個函式的定義域是.
②∵3x+2<0，即x<-時，根式無意義，
而，即時，根式才有意義，
∴這個函式的定義域是.
③∵當，即且時，根式和分式同時有意義，
∴這個函式的定義域是
另解：要使函式有意義，必須：
例2 求下列函式的定義域：
⑤ 解：①要使函式有意義，必須： 即：
∴函式的定義域為：
②要使函式有意義，必須：
∴定義域為：
③要使函式有意義，必須：
∴函式的定義域為：
④要使函式有意義，必須
∴定義域為：
⑤要使函式有意義，必須：
即 x< 或 x> ∴定義域為：
例3 若函式的定義域是r，求實數a 的取值範圍
解：∵定義域是r,∴
∴例4 若函式的定義域為[1，1]，求函式的定義域
解：要使函式有意義，必須：
∴函式的定義域為：
例5 已知f(x)的定義域為[－1，1]，求f(2x－1)的定義域。
分析：法則f要求自變數在[－1，1]內取值，則法則作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]內取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值範圍就是復合函式的定義域；或者從位置上思考f(2x－1)中2x－1與f(x)中的x位置相同，範圍也應一樣，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值範圍就是復合函式的定義域。
（注意：f(x)中的x與f(2x－1)中的x不是同乙個x，即它們意義不同。）
解：∵f(x)的定義域為[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f(2x－1)的定義域為[0，1]。
例6已知已知f(x)的定義域為[－1，1]，求f(x2)的定義域。
答案：－1≤x2≤1 x2≤1－1≤x≤1
練習：設的定義域是[3，]，求函式的定義域
解：要使函式有意義，必須： 得：
∵≥0∴ 函式的定域義為：
例7已知f(2x－1)的定義域為[0，1]，求f(x)的定義域
因為2x－1是r上的單調遞增函式，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定義域。
已知f(3x－1)的定義域為[－1，2），求f(2x+1)的定義域。）
（提示：定義域是自變數x的取值範圍）
練習：已知f(x2)的定義域為[－1，1]，求f(x)的定義域
若的定義域是，則函式的定義域是 （ ）
已知函式的定義域為ａ，函式的定義域為ｂ，則
ａ． ｂ．b
2、求值域問題
利用常見函式的值域來求（直接法）
一次函式y=ax+b(a0)的定義域為r，值域為r；
反比例函式的定義域為，值域為；
二次函式的定義域為r，
當a>0時，值域為{}；當a<0時，值域為{}.
例1 求下列函式的值域
① y=3x+2(-1x1
③（記住影象
解：①∵-1x1，∴-33x3，
∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]
②略③ 當x>0，∴=，
當x<0時， =－
∴值域是[2，+).（此法也稱為配方法）
函式的影象為：
二次函式在區間上的值域(最值)：
例2 求下列函式的最大值、最小值與值域：
③； ④；
解：∵，∴頂點為(2,-3)，頂點橫座標為2.
①∵拋物線的開口向上，函式的定義域r，
∴x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函式的值域是.
②∵頂點橫座標2 [3,4]，
當x=3時，y= -2；x=4時，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域為[-2，1].
③∵頂點橫座標2 [0,1]，當x=0時，y=1；x=1時，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域為[-2，1].
④∵頂點橫座標2 [0,5]，當x=0時，y=1；x=2時，y=-3, x=5時，y=6,
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域為[-3，6].
注：對於二次函式,
⑴若定義域為r時，
①當a>0時，則當時，其最小值；
②當a<0時，則當時，其最大值.
⑵若定義域為x [a,b],則應首先判定其頂點橫座標x0是否屬於區間[a,b].
①若 [a,b],則是函式的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，
再比較的大小決定函式的最大（小）值.
②若 [a,b],則[a,b]是在的單調區間內，只需比較的大小即可決定函式的最大（小）值.
注：①若給定區間不是閉區間，則可能得不到最大（小）值；
②當頂點橫座標是字母時，則應根據其對應區間特別是區間兩端點的位置關係進行討論.
練習：1、求函式y=3+√(2－3x)的值域
解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
函式的值域為 .
2、求函式的值域
解：對稱軸
例3 求函式y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
解：法一：（單調性法）設f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函式，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定義域為x≤1/3上也為增函式，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，
所求的函式值域為｛y|y≤4/3｝。
小結：利用單調性求函式的值域，是在函式給定的區間上，或求出函式隱含的區間，結合函式的增減性，求出其函式在區間端點的函式值，進而可確定函式的值域。
練習：求函式y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
法二：換元法(下題講)
例4 求函式的值域
解：（換元法）設，則
點評：將無理函式或二次型的函式轉化為二次函式，通過求出二次函式的最值，從而確定出原函式的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。
練習：求函式y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
例5 （選）求函式的值域
解：（平方法）函式定義域為：
例6 （選不要求）求函式的值域
解：（三角換元法設
小結：（1）若題目中含有，則可設
（2）若題目中含有則可設，其中
（3）若題目中含有，則可設，其中
（4）若題目中含有，則可設，其中
（5）若題目中含有，則可設
其中例7 求的值域
解法一：（圖象法）可化為如圖，
觀察得值域
解法二：（零點法）畫數軸利用可得。
解法三：（選）（不等式法）
同樣可得值域
練習：的值域呢三種方法均可）
例8 求函式的值域
解：（換元法）設，則原函式可化為
例9求函式的值域
解：（換元法）令，則
由指數函式的單調性知，原函式的值域為
例10 求函式的值域
解：（圖象法）如圖，值域為
例11 求函式的值域
解法一：（逆求法）
解法二：（分離常數法）由，可得值域
小結：已知分式函式，如果在其自然定義域（代數式自身對變數的要求）內，值域為；如果是條件定義域（對自變數有附加條件），採用部分分式法將原函式化為，用復合函式法來求值域。
例12 求函式的值域
解法一：（逆求法）
小結：如果自變數或含有自變數的整體有確定的範圍，可採用逆求法。
解法二：（換元法）設 ，
則練習：y=；（y∈(-1，1)）.
例13 函式的值域
解法一：（逆求法）
解法二：（換元法）設，則
解法三：（判別式法）原函式可化為
1） 時不成立
2） 時，
綜合1）、2）值域
解法四：（三角換元法）設，則
原函式的值域為
例14 求函式的值域
解法一：（判別式法）化為
1）時，不成立
2）時，得
綜合1）、2）值域
解法二：（復合函式法）令，則
所以，值域
例15 函式的值域
解法一：（判別式法）原式可化為
解法二：（不等式法）1）當時，
2） 時，
綜合1）2）知，原函式值域為
例16 (選) 求函式的值域
解法一：（判別式法）原式可化為
解法二：（不等式法）原函式可化為
當且僅當時取等號，故值域為
例17 （選） 求函式的值域
解：（換元法）令，則原函式可化為。。。
小結：已知分式函式，如果在其自然定義域內可採用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取捨，或者可以化為
（選）的形式，採用部分分式法，進而用基本不等式法求出函式的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉化為利用函式的單調性去解。
練習：1 、；
解：∵x0，，∴y11.
另外，此題利用基本不等式解更簡捷： (或利用對勾函式影象法)
2 、03 、求函式的值域
函式定義域 值域求法總結
一 定義域是函式y f x 中的自變數x的範圍。求函式的定義域需要從這幾個方面入手 1 分母不為零 2 偶次根式的被開方數非負。3 對數中的真數部分大於0。4 指數 對數的底數大於0，且不等於1 5 y tanx中x k 2 y cotx中x k 等等。6 中x 二 值域是函式y f x 中y的取值...
函式定義域 值域求法總結
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函式定義域 值域求法總結
一 定義域是函式y f x 中的自變數x的範圍。求函式的定義域需要從這幾個方面入手 1 分母不為零 2 偶次根式的被開方數非負。3 對數中的真數部分大於0。4 指數 對數的底數大於0，且不等於1 5 y 中 y 中x k 等等。6 中x 二 值域是函式y f x 中y的取值範圍。常用的求值域的方法 ...