第四講函式的奇偶性
一、知識要點：
1、函式奇偶性定義：
如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函式；
如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函式。
如果函式f(x)不具有上述性質，則f(x)既不是奇函式也不是偶函式
如果函式同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函式，又是偶函式。
2、函式奇偶性的判定方法：定義法、影象法
（1）利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：
①首先確定函式的定義域是否關於原點對稱；②確定f(－x)與f(x)的關係；③作出相應結論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式。
①函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性，函式的奇偶性是函式的整體性質；
②由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的乙個必要條件是，定義域關於原點對稱。
(2) 利用影象判斷函式奇偶性的方法：
影象關於原點對稱的函式為奇函式，影象關於y軸對稱的函式為偶函式，
（3）簡單性質：
設，的定義域分別是，那麼在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
二、基礎練習：
1. f(x),g(x)是定義在r上的函式，h(x)=f(x)+g(x)，則f(x)，g(x)均為偶函式,h(x)一定為偶函式嗎？
反之是否成立
2.已知函式y=f(x)是定義在r上的奇函式，則下列函式中是奇函式的是
①y=f(|xy=f(-xy=x·f(xy=f(x)+x.
3.設函式若函式是偶函式，則的遞減區間是
4.已知y=f(x)是定義在r上的奇函式，當x≥0時，f(x)=x2-2x，則在x<0上f(x)的表示式為
5. 設f(x)是r上的偶函式，且在(0,+∞)上是減函式，若x1＜0,且x1+x2＞0,則 f(x1)與f(-x2)的大小關係是
三、例題精講：
題型1： 函式奇偶性的判定
例1. 判斷下列函式的奇偶性：
1 ,②,③④
變式：設函式f（x）在（－∞，+∞）內有定義，下列函式：
1 y=－|f（x）|； ②y=xf（x2）； ③y=－f（－x）； ④y=f（x）－f（－x）。
必為奇函式的有要求填寫正確答案的序號）
題型2： 函式奇偶性的證明
例2、已知函式f(x),當x,y∈r時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). 求證：f(x)是奇函式；
變式：已知f（x）=是奇函式，則實數a的值等於
題型3： 函式奇偶性的應用
例3.設定義在[-2，2]上的偶函式f(x)在區間[0，2]上單調遞減，若f(1-m)變式1：已知函式是偶函式，而且在上是減函式，判斷在上是增函式還是減函式，並證明你的判斷.
變式2：函式是r上的偶函式，且在上是增函式，若,則實數的取值範圍是
題型4：綜合應用
例都是定義在r上的奇函式，且f(x)=3f(x)+5g(x)+2,若f(a)=b,則f(-a
變式：已知函式f(x)=g(x)+2,x∈［-3，3］，且g(x)滿足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分別為m、n，則m+n
例6．已知函式為奇函式，，且不等式的解集是∪。
（1）求；
（2）是否存在實數m使不等式對一切成立？若存在，求出m的取值範圍；若不存在，請說明理由。
例7.已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函式，且f(1)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0時，
有＞0.
(1)判斷函式f(x)在［－1，1］上是增函式，還是減函式，並證明你的結論；
（2）解不等式：f(x+)＜f();
(3)若f(x)≤m2－2pm+1對所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常數）恆成立，求實數m的取值範圍.
能力訓練題
1.判斷下列函式的奇偶性：
（1）f(x)=； （2）； （3）f(x)=x+1 (x[-10,10))；
2.函式f(x),g(x)在區間［-a，a］ (a＞0）上都是奇函式，則下列結論：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函式；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函式；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函式；④f(0)+g(0)=0,其中正確的個數是
3．已知函式f(x)(xr)是奇函式，且
4.設是定義在上的乙個函式，則函式在上的奇偶性是
5. 已知函式為偶函式，則的值是
6.已知y=f(x)是定義在r上的奇函式，當x≥0時，f(x)=x2-2x，則在r上f(x)的表示式為
7.如果奇函式在區間上最大值為，那麼在區間上最小值是
8.若φ(x)，g(x)都是奇函式，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，則f(x)在（-∞，0）
上最小值為
9.為奇函式，則
10．如果函式是奇函式，則
11.判斷的奇偶性。
12.已知函式f(x)=x2+|x-a|+1,a∈r.
（1）試判斷f(x)的奇偶性； （2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
函式奇偶性導學案
函式的奇偶性 目標 理解函式奇偶性的定義，會根據函式影象及解析式判斷函式的奇偶性 導引 1.中國人講究的是一種對稱美，在我們的生活中，可以觀察到許多對稱現象，請同學們舉出這樣的例子。2.軸對稱和中心對稱的定義是什麼？導學 任務1 理解奇函式和偶函式的定義函式 1.觀察函式影象的對稱性，的影象有怎樣的...
1 3 2函式的奇偶性學案
函式的奇偶性 觀察下列函式的圖象，總結各函式之間的共性 10 二 函式的奇偶性定義 前提 函式的定義域關於原點對稱 1 偶函式 若 2 奇函式 若 3.具有奇偶性的函式的圖象的特徵 1.偶函式的圖象關於 對稱 2.奇函式的圖象關於 對稱 4.利用定義判斷函式奇偶性的步驟 首先確定函式的定義域，並判斷...
函式奇偶性
2 4 函式的奇偶性 命題人安玉寶審核人周雙慶 知識網路 1 奇函式 偶函式的定義及其判斷方法 2 奇函式 偶函式的圖象 3 應用奇函式 偶函式解決問題 典型例題 例1 1 下面四個結論中，正確命題的個數是 偶函式的圖象一定與y軸相交 函式為奇函式的充要條件是 偶函式的圖象關於y軸對稱 既是奇函式，...