教學過程
一、知識講解
考點1．函式奇偶性定義
設函式＝的定義域為，如果對於內任意乙個，都有，且＝－，那麼這個函式叫做奇函式．
設函式＝的定義域為，如果對於內任意乙個，都有，且＝，那麼這個函式叫做偶函式．
2．奇偶函式的圖象對稱性
奇函式的圖象關於原點成中心對稱圖形．
偶函式的圖象關於軸成軸對稱圖形．
考點2.判斷函式奇偶性的步驟是：
1．求函式的定義域，如果定義域關於原點對稱，則進行下一步；如果定義域不關於原點對稱，則函式是非奇非偶函式．
2．判斷或是否成立，
如果只有成立，則函式是奇函式；
如果只有，則函式是偶函式；
如果兩式都成立，則函式是即奇又偶函式．
二、例題精析
【例題1】
【題幹】判斷下列函式的奇偶性：
【答案】①為奇函式.②為偶函式.③④為非奇非偶函式，
【解析】①定義域是，所以
所以是奇函式．
②定義域是r，因為，所以是偶函式．
③定義域是r，，所以是非奇非偶函式．
④定義域不關於原點對稱，所以是非奇非偶函式．
【例題2】
【題幹】已知函式在r上是奇函式，並且在上是減函式，試說明函式在上是增函式還是減函式？
【答案】函式在上是減函式．以下證明：
設，則，
因為在上是減函式，所以，
又因為在r上是奇函式，
所以上不等式可變為，即，
所以時，有，
即函式在上是減函式．
【解析】同答案
【例題3】
【題幹】已知為上的奇函式，當時， ，求時函式的解析式．
【答案】
【解析】設，則，，
因為為r上的奇函式，
所以，即當時，．
【例題4】
【題幹】偶函式在定義域為r，且在（－∞，0]上單調遞減，求滿足＞的的集合．
【答案】（－1，＋∞）．
【解析】由偶函式在（－∞，0]上單調遞減，可知在［0，＋∞）上單調遞增．
根據圖象的對稱性，＞等價於＞．
解之，，
∴ 滿足條件的的集合為（－1，＋∞）．
三、課堂運用
【基礎】
1. 已知函式為偶函式，則的值是（ ）
a． b． c． d．
【答案】 b
【解析】由奇次項係數為．
2．若在上是奇函式，且＜，則（ ）
ab.＞
c.＜ d.＞
【答案】 c
【解析】 由在上是奇函式，可得，所以當＜時，有＜．
【鞏固】
1.下列判斷正確的是（ ）
a. 函式是奇函式b. 函式是偶函式
c. 函式是非奇非偶函式 d. 函式既是奇函式又是偶函式
【答案】c．
【解析】選項a中的而有意義，定義域關於原點不對稱，選項b中的
而有意義，定義域關於原點不對稱，選項d中的函式僅為偶函式．
2.若偶函式在上是增函式，則下列關係式中成立的是（ ）
ａ. ｂ．
【答案】 d
【解析】
【拔高】
1.設函式與的定義域是且,是偶函式, 是奇函式,且,求和的解析式
【答案】，
【解析】∵是偶函式, 是奇函式，∴，且
而,得,
即，∴，.
課程小結
1.在函式、公共定義域內，
奇函式奇函式是奇函式；
偶函式偶函式是偶函式；
奇函式偶函式一般是非奇非偶函式；
奇函式奇函式是偶函式；
偶函式偶函式是偶函式；
奇函式偶函式是奇函式。
2.判斷函式的奇偶性應把握：
1 若為具體函式，嚴格按照定義判斷，注意定義域的對稱性和變換中的等價性．
2 若為抽象函式，在依託定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性和合理性．
3.定義在關於原點的對稱點集上的任意函式，總可以表示成乙個偶函式與乙個奇函式的和．即＝＋．
其中＝為偶函式，＝為奇函式．
4.奇（偶）函式性質的推廣
若函式的圖象關於直線對稱，則；
若函式的圖象關於點對稱，則；
課後作業
【基礎】
1．設是定義在ｒ上的奇函式，當時，，則（ ）
a．－3b． －1 c． 1 d． 3
【答案】a
【解析】由，應選a．
2．如果奇函式在區間上是增函式，且最小值是5，那麼在區間上（ ）
a．是增函式且最小值為－5b．是增函式且最大值是－5；
c．是減函式且最小值為－5d．是減函式且最大值是－5．
【答案】 b．
【解析】 奇函式的圖象關於原點對稱，在對稱的區間上具有相同的單調性．
3．設是定義在上的乙個函式，則函式在上一定是（ ）
a. 奇函式 b. 偶函式 c. 既是奇函式又是偶函式 d.非奇非偶函式
【答案】 a．
【解析】．
4.若函式是偶函式，則的遞減區間是( )
【答案】
【解析】 由為偶函式，，
∴ 的遞減區間是.
5.奇函式在區間上是增函式，在區間上的最大值為，最小值為，則
【答案】
【解析】 ∵在區間上也為遞增函式，於是有，
.【鞏固】
1．設函式和分別是ｒ上的偶函式和奇函式，則下列結論恆成立的是（ ）
a．是偶函式 b．是奇函式
c．是偶函式 d．是奇函式
【答案】a．
【解析】∵，故選a.
2．已知函式，且＝0，則等於（ ）
a．－16 b．－18 c．－10 d．10
【答案】a．
【解析】∵為奇函式．故．
3.已知定義在r上的奇函式，當時，，那麼時
【答案】
【解析】設，則，，
∵∴,.
4.若函式在上是奇函式,則的解析式為________.
【答案】
【解析】∵∴，
即. ∴.
5.函式① ② ③
⑥ ⑦
上述函式中為奇函式的是________.
【答案】① ⑤ ⑥．
【解析】① ⑤ ⑥為奇函式，③為偶函式，② ④ ⑦為非奇非偶函式．
定義域不關於原點對稱，為非奇非偶函式.⑤既是奇函式，又是偶函式．
⑥，故為奇函式．
⑦的定義域為，不關於原點對稱，故為非奇非偶函式．
【拔高】
1. 函式是（ ）
a. 是奇函式又是減函式 b. 是奇函式但不是減函式
c. 是減函式但不是奇函式 d. 不是奇函式也不是減函式
【答案】a
【解析】∵
為奇函式，而為減函式.
2. 判斷下列函式的奇偶性
（1） （2）
【答案】（1）奇函式. （2）既是奇函式又是偶函式.
【解析】（1）定義域為，則，
∵∴為奇函式.
（2）∵且∴既是奇函式又是偶函式.
函式的奇偶性教案
課標要求 一 知識與技能 1.從形與數兩個方面進行引導，使學生深刻理解函式的奇偶性概念。2.通過設定問題，培養學生的判斷和推理能力。二 過程與方法 師生共同討論，研究，從代數的角度來嚴格推證論證 三 情感態度與價值觀 通過繪製函式圖象來陶冶學生的情操，通過組 教學重點與難點 函式奇偶性概念及函式奇偶...
函式奇偶性
2 4 函式的奇偶性 命題人安玉寶審核人周雙慶 知識網路 1 奇函式 偶函式的定義及其判斷方法 2 奇函式 偶函式的圖象 3 應用奇函式 偶函式解決問題 典型例題 例1 1 下面四個結論中，正確命題的個數是 偶函式的圖象一定與y軸相交 函式為奇函式的充要條件是 偶函式的圖象關於y軸對稱 既是奇函式，...
《函式的奇偶性》教案說明
一 教材情況分析 函式的奇偶性 是新課標人教版 數學1 第一章第三節的教學內容。函式的奇偶性 是函式的乙個重要性質，常伴隨著函式的其他性質出現。函式奇偶性揭示的是函式自變數與函式值之間的一種特殊的數量規律，直觀反映的是函式圖象的對稱性。利用數形結合的數學思想來研究此類函式的問題常為我們展示乙個新的思...