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1． 奇函式、偶函式的定義及其判斷方法
定義：偶函式：如果對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(x)=f(-x)，則函式f（x）叫做偶函式
奇函式：如果對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(x)=-f(-x)，則函式f（x）叫做奇函式
驗證步驟：1.判斷定義域是否關於原點對稱
2.判斷f（-x）是否等於f（x）或判斷f（-x）f（x）是否等於0
3.得出結論
2．奇函式、偶函式的圖象．
如果乙個函式的是奇函式，則其影象一原點中心對稱；反之，若乙個函式的影象以原點中心對稱，則這個函式是奇函式。
如果乙個函式的是偶函式，則其影象以y軸軸對稱；反之，若乙個函式的影象以y軸軸對稱，則這個函式是偶函式
3.應用奇函式、偶函式解決問題．
（1）利用函式奇偶性的部分解析式求整體解析式
（2）由函式奇偶性的特徵求係數的值或求函式值
典型例題
例1.1下面四個結論中，正確命題的個數是（a）
①偶函式的圖象一定與y軸相交；②函式為奇函式的充要條件是；③偶函式的圖象關於y軸對稱；④既是奇函式，又是偶函式的函式一定是f（x）=0（x∈r）．
a．1b．2c．3d．4
提示：①不對，如函式是偶函式，但其圖象與軸沒有交點；②不對，因為奇函式的定義域可能不包含原點；③正確；④不對，既是奇函式又是偶函式的函式可以為f（x）=0〔x∈（－，）〕，答案為a．
例1.2 判斷下列函式的奇偶性：
（1）；(2)；
（3）；（4）．
解：（1）由，得定義域為，關於原點不對稱，∴為非奇非偶函式．
(2)，∴ ∴既是奇函式又是偶函式．
（3）由得定義域為，∴，
∵ ∴為偶函式
（4）當時，，則，
當時，，則，
綜上所述，對任意的，都有，∴為奇函式．
例2.1 若是偶函式，當∈［0，+∞)時，，則的解集是
提示：偶函式的圖象關於y軸對稱，先作出的圖象，由圖可知的解集為，∴的解集為.
解：（1）函式的定義域為r，，
故為偶函式．
（2）由得：，定義域為，關於原點對稱，
，，故為奇函式．
（3）函式的定義域為(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不關於原點對稱，故函式既非奇函式，又非偶函式．
例2.1變式
函式的圖象()
a． 關於原點對稱b．關於直線y＝－x對稱c．關於y軸對稱d．關於直線y＝x對稱
[答案]a
[解析]首先由》0得，－2函式y＝；x∈(－π，0)∪(0，π)的圖象可能是下列圖象中的()
[答案]c[解析]∵y＝是偶函式，排除a，
當x＝2時，y＝>2，排除d，
當x＝時，y＝＝>1，排除b，故選c.
例3.1 已知是定義在r上的奇函式，當時，，則）在r上的
表示式是（ ）
a． b． c． d．
提示：由時，，是定義在r上的奇函式得：
當x＜0時，，
∴，即，答案為d．
例3.1變式已知奇函式，當∈（0，1）時， lg，那麼當∈（－1，0）時，的表示式是．
提示：當（－1，0）時，∈（0，1），∴．
例3.2 已知函式是偶函式，且其定義域為［］，則（ ）
a．，b＝0 b．，b＝0 c．，b＝0 d．，b＝0
提示：由為偶函式，得b＝0．
又定義域為［］，∴，∴．故答案為a．
例3.2變式若奇函式是定義在（，1）上的增函式，試解關於的不等式：
．解：由已知得
因f(x)是奇函式，故，於是．
又是定義在（1，1）上的增函式，從而
即不等式的解集是．
課後習題
一．奇偶性的定義和判斷
下列命題中，真命題是（ c ）
a．函式是奇函式，且在定義域內為減函式
b．函式是奇函式，且在定義域內為增函式
c．函式是偶函式，且在（3，0）上為減函式
d．函式是偶函式，且在（0，2）上為增函式
提示：a中，在定義域內不具有單調性；b中，函式的定義域不關於原點對稱；d中，當時，在（0，2）上為減函式，答案為c．
試判斷下列函式的奇偶性：
（1）； （2）； （3）．
二．奇偶函式的影象
已知函式y＝f(x)是偶函式，y＝g(x)是奇函式，它們的定義域都是[－π，π]，且它們在x∈[0，π]上的圖象如圖所示，則不等式<0的解集是________．
[答案] ∪
[解析] 依據偶函式的圖象關於y軸對稱，奇函式的圖象關於原點對稱，先補全f(x)、g(x)的圖象，
∵<0，∴，或，觀察兩函式的圖象，其中乙個在x軸上方，乙個在x軸下方的，即滿足要求，∴－三．奇偶性的應用
若，都是奇函式，在（0，＋∞）上有最大值5，則在（－∞，0）上有（ ）
a．最小值－5 b．最大值－5 c．最小值－1 d．最大值－3
提示：、為奇函式，∴為奇函式．
又有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．
∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．答案為c．
定義在r上的奇函式在（0，+∞）上是增函式，又，則不等式的解集為（a）
a．（－3，0）∪（0，3b．（－∞，－3）∪（3，+∞）
c．（－3，0）∪（3d．（－∞，－3）∪（0，3）
提示：由奇偶性和單調性的關係結合圖象來解．答案為a．
已知函式是偶函式，在［0，2］上是單調減函式，則（a）
ab.cd.
提示：由f（x－2）在［0，2］上單調遞減，∴在［－2，0］上單調遞減.
∵是偶函式，∴在［0，2］上單調遞增. 又，故應選a.
（奇偶性和週期性結合）
已知是偶函式，是奇函式，若，則的解析式為
提示：由是偶函式，是奇函式，可得，聯立，得：， ∴
已知，且，那麼f（2）等於
提示：為奇函式，，∴，∴．
已知定義在r上的函式對任意實數、，恒有，且當時，，又．
（1）求證：為奇函式；（2）求證：在r上是減函式；（3）求在[，6]上的最大值與最小值．
（1）證明：令，可得，從而，f(0) = 0．
令，可得，即，故為奇函式．
（2）證明：設∈r，且，則，於是．從而
所以，為減函式．
（3）解：由（2）知，所求函式的最大值為，最小值為．
於是，在[-3，6]上的最大值為2，最小值為 -4．
已知函式對一切，都有，若，用表示．
解：顯然的定義域是，它關於原點對稱．在中，
令，得，
令，得，∴，
∴，即， ∴是奇函式．
∵， ∴．
已知函式是奇函式，又，，，求、、的值.
解：由得∴c=0. 又，得，
而，得，解得.
又，∴或.
若，則b=，應捨去；若，則b=1∈z.∴.
函式奇偶性
2 4 函式的奇偶性 命題人安玉寶審核人周雙慶 知識網路 1 奇函式 偶函式的定義及其判斷方法 2 奇函式 偶函式的圖象 3 應用奇函式 偶函式解決問題 典型例題 例1 1 下面四個結論中，正確命題的個數是 偶函式的圖象一定與y軸相交 函式為奇函式的充要條件是 偶函式的圖象關於y軸對稱 既是奇函式，...
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