【一線名師精講】
基礎知識要點
1、設y=f（x），x∈a，若對於任意x∈a，都有f（－x）=f（x），則稱f（x）為偶函式；若對於任意x∈a，都有f（－x）=－f（x），則稱f（x）為奇函式。若函式y=f（x）是偶函式或奇函式，則稱函式y=f（x）具有奇偶性。在此定義中，只有當函式的定義域在數軸上關於原點對稱時，這個函式才可能具有奇偶性，然後再作判斷。
2、奇偶函式的定義是判斷函式奇偶性的主要依據。為了便於判斷函式的奇偶性，有時需要先將函式式進行化簡整理，或利用定義的等價形式：
f（－x）=±f（x）f（－x）f（x）=0
3、奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱，反之亦然。利用這一性質可簡化一些函式圖象的畫法，也可利用它來判斷函式的奇偶性。因此判斷函式奇偶性的方法有：
①定義法 ②圖象法 ③性質法
4、在公共定義域內，兩個偶（或奇）函式的差仍是偶（或奇）函式；兩個偶（或奇）函式的積是偶函式；乙個偶函式與乙個奇函式的積是奇函式。
5、 數的奇偶性的主要性質：
（1）f（x）為偶函式f（x）=f（）.
（2）若f（x）為奇函式且0在其定義域內，則f（0）=0.
（3）若f（x）=0且f（x）的定義域關於原點對稱，則f（x）既是奇函式又是偶函式。
（4）奇函式在其定義域內關於原點對稱的兩個區間上具有相同的單調性；偶函式在其定義域內關於原點對稱的兩個區間上具有相反的單調性。
（5）定義在r上的任意函式y=f（x）均可表示為乙個偶函式與乙個奇函式之和，即有：
f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）=分別為偶函式和奇函式。
基本題型指要
函式的奇偶性是函式性質的重要組成部分，高考一方面要求了解奇偶性的概念和圖象特徵；另一方面也要求能利用函式的奇偶性研究函式的特徵並能和函式的單調性、週期性綜合起來解決一些函式的綜合性問題。
【例1】判斷下列函式的奇偶性：
（2）（3）（4）（5）思路導引：判斷函式的奇偶性，應先考查函式的定義域是否關於原點對稱，然後再判斷f（－x）與f（x）的關係。
解析：（1）由得定義域為x∈，因為定義域不關於原點對稱，所以f（x）是非奇非偶函式。
（2）由得定義域為x∈（－1，0）∪（0，1）關於原點對稱，此時f（x）
∴f（x）為偶函式。
（3）函式的定義域為r，
∴f（－x）=－f（x） ∴f（x）為奇函式。
（4）的定義域為r，
∵f（－x）=
∴f（x）為奇函式。
(5)定義域為r
1 當x<0時,則－x>0,
∴f(-x)=－x2－2x－3=－f（x）
②當x>0時,則－x<0, ∴f（－x）=（－x）2－2x+3=x2－2x+3=－f（x）
③當x=0時,則－x=0, ∴f（－x）=0=－f（x）
由①、②、③可知，f（x）為奇函式。
【例2】（ ）
（a） 奇函式不是偶函式
（b） 偶函式不是奇函式
（c） 奇函式又是偶函式
（d） 非奇非偶函式
（ ）
（a）奇函式不是偶函式 （b）偶函式不是奇函式
（c）奇函式又是偶函式 （d）非奇非偶函式
（1） 解析：∴函式f（x）的定義域不關於原點對稱，∴應選（d）。
誤區警示：錯解：
∴f（－x）=－f（x） ∴f（x）是奇函式。
錯因：不求原函式的定義域，不等價變形原函式。
（2）正解：先求定義域即x∈
∴f（－x）=－f（x），故應選（a）。
誤區警示：錯解1：定義域不關於原點對稱，∴f（x）為非奇非偶函式，故選（d）。
錯因：審題不全面，在考慮定義域時還必須注意其正確的定義域應是區間。
錯解2：解之得x∈
∵∴f（x）為非奇非偶函式，故選（d）。
錯因：未認真分析解析式，盲目得出結論。
點評：（1）函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要不充分條件。因此，判斷函式的奇偶性，首先看定義域是否關於原點對稱，再看f（－x）與f（x）或－f（x）是否相等。
（2）在判斷某些函式的奇偶性時，注意在定義域條件下先化簡函式式，再進行判斷。
（3）任意函式可根據奇偶性分為四類：奇函式，偶函式，既是奇函式又是偶函式和非奇非偶函式。
【例3】定義在r上的函式f（x），對於任意x，y∈r，有f（x+y）+f（x－y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0。
求證：（1）f（0）=1 （2）f（x）是偶函式。
思路導引：我們把沒有給出解析式的函式稱之為抽象函式。解決這類問題一般採用賦值法。
解析：（1）令x=y=0則有2f（0）=2f2（0）
∵f（0）≠0 ∴f（0）=1
（2）令x=0，則有f（y）+f（－y）=2f（0）·f（y）=2f（y）
∴f（－y）= f（y）∴f（x）為偶函式。
點評：抽象函式是近年來的熱點問題，應引起同學們的足夠重視。
◆題型二：利用函式的奇偶性求函式解析式或某一函式值
【例4】已知f（x）是r上奇函式，且當x<0時，f（x）=x2+2x－1，求f（x）的解析式。
思路導引：因為f（x）的定義域為r，且已給出了當x<0時f（x）的解析式，故只要求當x≥0時f（x）的解析式。
解析：∵f（x）是r上的奇函式
∴f（0）=－f（0） ∴f（0）=0
當x>0時,則－x<0 ∴f(－x)=x2－2x－1,
而f（x）是奇函式
∴f(－x)=－f(x) ∴f(x)=－f(－x)=－x2+2x+1
∴點評：利用函式奇偶性求函式解析式是一類典型題目,應注意掌握其求解方法.
【例5】已知g(x)是奇函式,
思路導引：本題只需找出f（－x）與f（x）之間的關係即可，然後根據g(x)的奇偶性，利用方程組的思想容易解決。
解析：由已知得
兩式相加得
∴點評：利用函式奇偶性的定義是解決此類問題的基本方法。
【例6】設定義在[－2，2]上的偶函式在區間[0，2]上單調遞減，若f（1－m）思路導引：由函式的定義域知（1－m）∈[－2，2]，m∈[－2，2]，但是（1－m）和m到底是在[－2，0]、[0，2]的哪個區域內？不十分清楚,若就此討論，將十分複雜。
如果注意到性質：「若f（x）是偶函式，則 」，問題則迎刃而解。
解析：∵f（x）是偶函式 ∴f（x）= f（）
∴f（1－m）又當x∈[0，2]時，f（x）單調遞減
∴點評：本題利用了偶函式的乙個簡單性質，從而避免了一場「大規模」的討論，值得深思。
【閱卷老師評題】
【例7】 (2023年全國高考）設為實數，函式，。(1)討論的奇偶性；（2）求的最小值。
命題目的：考查函式的奇偶性及分類討論、對稱思想。
考情分析：此題得分率較低，失分原因主要是對分類討論理解不透徹。
解析：（1）當時，函式此時為偶函式
當時，，，，
此時既不是奇函式，也不是偶函式
（2）（）當時，
若，則函式在上單調遞減，從而函式在上的最小值為．
若，則函式在上的最小值為，且．
（）當時，函式,若，則函式在上的最小值為，且
若，則函式在上單調遞增，從而函式在上的最小值為．
綜上，當時，函式的最小值為,
當時，函式的最小值為,
當時，函式的最小值為．
點評：函式奇偶性的討論問題是中學數學的基本問題，如果平時注意知識的積累，對解此題會有較大幫助。因為x ∈r，f（0）=，由此排除f（x）是奇函式的可能性。
運用偶函式的定義分析可知，當a=0時，f（x）是偶函式，第（2）問主要考查學生的分類討論思想、對稱思想。
【好題優化訓練】
基礎鞏固
1、下列判斷正確的是（ ）
（a）是奇函式
（b）是偶函式
（c）是非奇非偶函式
（d）f（x）=1既是奇函式又是偶函式
答案：（c）
解析：由奇偶函式的定義即得。
2、定義在r上的任意奇函式f（x），都有（ ）
（a）（b）f（x）f（－x）≤0 （x∈r）
（c）f（x）－f（－x）≤0 （x∈r）
（d）f（x）f（－x）>0 (x∈r)
答案：（b）
解析：∵f（x）為奇函式 ∴f（－x）=－f（x）
∴f（x）·f（－x）=－f2（x）≤0，故選（b）。
3、設f（x）是r上的奇函式，且當時，f（x）=，那麼當x∈（－∞，0）時，f（x）為（ ）
（ab）
（cd）
答案：（d）
解析：當x<0時,則－x>0
∴ ∵f（x）為奇函式
∴f（－x）=－f（x）
∴f（x）=－f（－x）=
4、定義在區間[3－a，5]上的函式f（x）為奇函式，則a
答案：8
解析：因為奇偶函式的定義域必須關於原點對稱，
所以3－a=－5 即a=8
5、已知f（x）=其中a，b，c，d為常數，若f（－2）=10，則f（2
答案：0
解析：設g（x）=
則f（x）= g（x）+5且g（x）為奇函式，
∵f（－2）=g（－2）+5=－g（2）+5=10
∴g（2）=－5 ∴f（2）=g（2）+5=0。
技能培訓
6、若奇函式f（x）在區間[a，b]（a>0）上為增函式，且最小值為5，則f（x）在[－b，－a]上是（ ）
（a）增函式且最小值為－5
（b）增函式且最大值為－5
（c）減函式且最小值為－5
（d）減函式且最大值為－5
答案：（b）
解析：由奇函式的圖象的對稱性即得。
7、函式的反函式（ ）
（a）是奇函式，它在（0，+∞）上是減函式
（b）是偶函式，它在（0，+∞）上是減函式
（c）是奇函式，它在（0，+∞）上是增函式
（d）是偶函式，它在（0，+∞）上是增函式
答案：（c）
解析：設y= f（x），則，f（－x）=∴ f（x）為奇函式，反函式也為奇函式，
為增函式 ∴其反函式也為增函式。
函式奇偶性
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函式的奇偶性
課題1.3.2函式的奇偶性 新課學習 閱讀和思考教材33 35的內容和問題 1.偶函式的定義 一般地，如果對於函式的定義域內任意乙個，都有，那麼f x 就叫做偶函式 注意 偶函式的圖象關於y軸對稱.反過來，如果乙個函式的圖象關於y軸對稱，那麼就稱這個函式為偶函式.2.奇函式的定義 一般地，如果對於函...