1、已知函式且任意的、都有
（1）若數列
（2）求的值.
解：（1）
而（2）由題設，有
又得上為奇函式. 由
得 於是故
2、已知數列中，
（1）求證：數列與都是等比數列；（2）求數列前的和；
（3）若數列前的和為，不等式對恆成立，求的最大值。
解：（12分
∴數列是以1為首項，為公比的等比數列；
數列是以為首項，為公比的等比數列4分
（2）9分
（3）當且僅當時取等號，所以，即，∴的最大值為－48
3,把正奇數數列中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數表：
13 5
7 9 11
設是位於這個三角形數表中從上往下數第行，從左往右數第個數。
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）已知函式的反函式為，若記三角形數表中從上往下數第行各數的和為，求數列的前項和。
解：（ⅰ）∵三角形數表中前行共有個數，
∴第行最後乙個數應當是所給奇數列中第項，即。
因此，使得的是不等式的最小正整數解。
由得，∴。∴。
第45行第乙個數是，∴
（ⅱ）∵，∴。
∵第行最後乙個數是，且有個數，若將看成第行第乙個數，則第行各數成公差為的等差數列，故。∴。
故。用錯位相減法可求得。
4,設數列的前n項和為sn=2n2，為等比數列，且
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和。
解：（1）：當
故的通項公式為的等差數列.
設的通項公式為
故……………6分
（2）兩式相減得
5,設軸、軸正方向上的單位向量分別是、，座標平面上點、分別滿足下列兩個條件：①且；②且.
（1）求及的座標；
（2）若四邊形的面積是，求的表示式；
（3）對於（ⅱ）中的，是否存在最小的自然數m，對一切都有成立？若存在，求m；若不存在，說明理由．
解：（1）
5分（2）
10分（3）
等即在數列中，是數列的最大項，所以存在最小的自然數，對一切都有＜m成立16分
6,第一行是等差數列0，1，2，3，…，2008，將其相鄰兩項的和依次寫下作為第二行，第二行相鄰兩項的和依次寫下作為第三行，依此類推，共寫出2008行．
0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008
1，3，5， …， 4011， 4013， 4015
4，88024， 8028
……（1）由等差數列性質知，以上數表的每一行都是等差數列。記各行的公差組成數列．求通項公式；
（2）各行的第乙個數組成數列，求數列所有各項的和。
（1），
，則是等比數列6′
（2），．
∴數列是等差數列，，所以 12′
數列所有各項的和s
s=0＋1＋2×2＋3×22＋……＋2007×22006
用錯位相減法，得到s=1003×22008－116′
7,已知函式的圖象經過點和，記
（1）求數列的通項公式；
（2）設，若，求的最小值；
（3）求使不等式對一切成立最大實數.
解：（1）由題意得，解得，
（2）由（1）得得.，
設，則由
得隨的增大而減小時，
又恆成立，
（3）由題意得恆成立
記，則是隨的增大而增大
的最小值為，，即.
7,設各項均為正數的數列的前n項和為sn，對於任意的正整數n都有等式成立.
(1)求數列的通項公式;
(2)令數列(其中c為正實數)，tn為數列的前n項和，若tn＞8對n∈n*恆成立，求c的取值範圍.
解：(11分
3分又4分
(2) 5分設
7分8分
由題意對恆成立10分
由單調性得
要使對恆成立，故c＞812分
∴c的取值範圍是(8，＋∞)
8,已知數列的首項為，前項和為，且點在直線上，為常數，。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）當，且最大時，試求的取值範圍。
解：（ⅰ）由題意可知數列是等差數列 ………（2分）
， 當時，
兩式相減，得4分）
時也成立
∴的通項公式為6分）
（ⅱ）由前項和公式得
當時，∵最大， 則有，解得
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