一、選擇題
1．已知函式f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函式，那麼g（x）＝ax3＋bx2＋cx（ ）
a．奇函式 b．偶函式 c．既奇又偶函式 d．非奇非偶函式
2．已知函式f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函式，且其定義域為［a－1，2a］，則（ ）
a．，b＝0 b．a＝－1，b＝0 c．a＝1，b＝0 d．a＝3，b＝0
3．已知f（x）是定義在r上的奇函式，當x≥0時，f（x）＝x2－2x，則f（x）在r上的表示式是（ ）
a．y＝x（x－2） b．y ＝x（｜x｜－1） c．y ＝｜x｜（x－2） d．y＝x（｜x｜－2）
4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那麼f（2）等於（ ）
a．－26 b．－18 c．－10 d．10
5．函式是（ ）
a．偶函式 b．奇函式 c．非奇非偶函式 d．既是奇函式又是偶函式
6．若，g（x）都是奇函式，在（0，＋∞）上有最大值5，
則f（x）在（－∞，0）上有（ ）
a．最小值－5 b．最大值－5 c．最小值－1 d．最大值－3
二、填空題
7．函式的奇偶性為________（填奇函式或偶函式） ．
8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函式，則m
9．已知f（x）是偶函式，g（x）是奇函式，若，則f（x）的解析式為_______．
10．已知函式f（x）為偶函式，且其圖象與x軸有四個交點，則方程f（x）＝0的所有實根之和為________．
三、解答題
11．設定義在［－2，2］上的偶函式f（x）在區間［0，2］上單調遞減，若f（1－m）＜f（m），求實數m的取值範圍．
12．已知函式f（x）滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xr，yr），且f（0）≠0，
試證f（x）是偶函式．
13.已知函式f（x）是奇函式，且當x＞0時，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在r上的表示式．
是定義在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函式，且f（x）在［5，＋∞）上單調遞減，試判斷f（x）在（－∞，－5］上的單調性，並用定義給予證明．
15.設函式y＝f（x）（xr且x≠0）對任意非零實數x1、x2滿足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），
求證f（x）是偶函式．
參***
1． 解析：f（x）＝ax2＋bx＋c為偶函式，為奇函式，
∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·滿足奇函式的條件． 答案：a
2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b為偶函式，得b＝0．
又定義域為［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴．故選a．
3．解析：由x≥0時，f（x）＝x2－2x，f（x）為奇函式，
∴當x＜0時，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．
∴即f（x）＝x（|x|－2）
答案：d
4．解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx為奇函式，
f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26． 答案：a
5．解析：此題直接證明較煩，可用等價形式f（－x）＋f（x）＝0． 答案：b
6．解析：、g（x）為奇函式，∴為奇函式．
又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f（x）－2有最大值3．
∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：c
7．答案：奇函式
8．答案：0解析：因為函式y＝（m－1）x2＋2mx＋3為偶函式，
∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．
9．解析：由f（x）是偶函式，g（x）是奇函式，
可得，聯立，∴．
答案： 10．答案：0 11．答案：
12．證明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可證f（0）＝1．令x＝0，
∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）為偶函式．
13．解析：本題主要是培養學生理解概念的能力．
f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）為奇函式，∴f（0）＝0．
當x＜0時，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，
∴f（x）＝x3－2x2＋1．
因此，點評：本題主要考查學生對奇函式概念的理解及應用能力．
14．解析：任取x1＜x2≤－5，則－x1＞－x2≥－5．
因f（x）在［5，＋∞］上單調遞減，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即單調減函式．
點評：此題要注意靈活運用函式奇偶性和單調性，並及時轉化．
15．解析：由x1，x2r且不為0的任意性，令x1＝x2＝1代入可證，
f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．
又令x1＝x2＝－1，
∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，
∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，
∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）為偶函式．
點評：抽象函式要注意變數的賦值，特別要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然後再結合具體題目要求構造出適合結論特徵的式子即可．
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