一、求函式解析式
1、直接法：
例1. 已知函式y＝f（x）滿足xy＜0，4x2－9y2＝36，求該函式解析式。
解：由4x2－9y2＝36可解得：
2、待定係數法：
例2. 已知在一定條件下，某段河流的水流量y與該段河流的平均深度x成反比，又測得該段河流某段平均水深為2m時，水流量為340m3/s，試求該段河流水流量與平均深度的函式關係式。
解：設，代入x，y的值可求得反比例係數k＝780m3/s，故所求函式關係式為。
3、換元法：
例3. 已知，試求。
解：設，則，代入條件式可得：，t≠1。故得：。
4、構造方程組法：
例4. （1）已知，試求；
（2）已知，試求；
解：（1）由條件式，以代x，則得，與條件式聯立，消去，則得：。
（2）由條件式，以－x代x則得：，與條件式聯立，消去，則得：。
5、實際問題中的函式解析式：
例5. 動點p從邊長為1的正方形abcd的頂點b出發，順次經過c、d再到a停止。設x表示p行駛的路程，y表示pa的長，求y關於x的函式。
解：由題意知：當x∈［0，1］時：y＝x；
當x∈（1，2）時：；當x∈（2，3）時：；
故綜上所述，有
二、求函式定義域
1、由函式解析式求函式定義域：
例6. 求的定義域。
解：由題意知：，從而解得：x>－2且x≠±4.故所求定義域為：
。2、求分段函式的定義域：對各個區間求並集。
例7. 已知函式由下表給出，求其定義域
解：。3、求與復合函式有關的定義域：
解：又由於x2－4x＋3>0 ** 聯立*、**兩式可解得：
例9. 若函式f（2x）的定義域是［－1，1］，求f（log2x）的定義域。
解：由f（2x）的定義域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定義域為［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得，故定義域為。
4、求解含引數的函式的定義域：
例10. 求函式的定義域。
解：若，則x∈r；若，則；若，則；
故所求函式的定義域：當時為r，當時為，當時為。
三、求函式的值域與最值
1、分離變數法
例11. 求函式的值域。
解：，因為，故y≠2，所以值域為。
2、配方法
例12. 求函式y＝2x2＋4x的值域。
解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域為。
3、判別式法
例13. 求函式的值域。
解：可變形為：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由δ≥0可解得：。
4、單調性法
例14. 求函式，x∈［4，5］的值域。
解：由於函式為增函式，故當x＝4時，ymin＝；當x＝5時，ymax＝，所以函式的值域為。
5、換元法
例15. 求函式的值域。
解：令，則y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域為。
6、分段函式的值域：應為各區間段上值域的並集。
例16. 求函式的值域。
解：當x∈［1，2］時，y∈［1，2］；當x∈2，3］時，y∈4，9］；當x∈3，4］時，y∈5，7］。綜上所述，y∈［1，2］∪3，9］。
7、影象法：
例17設f(x)＝若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，則函式y＝g(x)的值域是 ( )
a.(－∞，－1]∪[1b.(－∞，－1]∪[0，＋∞)
c.[0d.[1，＋∞)
解：如圖為f(x)的圖象，由圖象知f(x)的值域為(－1，＋∞)，
若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).
故選b.
8、反函式法：
例18求函式的值域。
解：由解得，
函式的值域為。
9、有界性求法：
例19：求函式的值域。
解：由函式的解析式可以知道，函式的定義域為，對函式進行變形可得，
∴函式的值域為
求函式的定義域與值域的常用方法
一 求函式的解析式 1 函式的解析式表示函式與自變數之間的一種對應關係，是函式與自變數建立聯絡的一座橋梁，其一般形式是y f x 不能把它寫成f x，y 0 2 求函式解析式一般要寫出定義域，但若定義域與由解析式所確定的自變數的範圍一致時，可以不標出定義域 一般地，我們可以在求解函式解析式的過程中確...
求函式的定義域與值域的常用方法
一.教學內容 求函式的解析式，求函式的定義域，求函式的值域，求函式的最值 二.學習目標 1 進一步理解函式的定義域與值域的概念 2 會應用代換 方程思想求簡單的函式解析式 3 會求基本初等函式 簡單的復合函式及含參變數函式的定義域 值域和最值 4 會將求函式值域問題化歸為求函式的最值問題，重視函式單...
函式的定義域與值域
知識要點 1 函式的定義域 1 求函式定義域的步驟 寫出使函式式有意義的不等式 組 解不等式 組 寫出函式定義域，注意用區間或集合的形式寫出 2 基本初等函式的定義域 整式函式的定義域為分式函式中分母 偶次根式函式被開方式一次函式 二次函式定義域為 函式的定義域為指數函式的定義域為 對數函式的定義域...