一. 教學內容：
求函式的解析式，求函式的定義域，求函式的值域，求函式的最值
二. 學習目標
1、進一步理解函式的定義域與值域的概念；
2、會應用代換、方程思想求簡單的函式解析式；
3、會求基本初等函式、簡單的復合函式及含參變數函式的定義域、值域和最值；
4、會將求函式值域問題化歸為求函式的最值問題，重視函式單調性在確定函式最值中的作用；
5、會求實際問題中的函式解析式、定義域、值域和最值問題；
6、會用集合、區間或不等式表示函式的定義域和值域。
三. 知識要點
（一）求函式的解析式
1、函式的解析式表示函式與自變數之間的一種對應關係，是函式與自變數建立聯絡的一座橋梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它寫成f（x，y）＝0；
2、求函式解析式一般要寫出定義域，但若定義域與由解析式所確定的自變數的範圍一致時，可以不標出定義域；一般地，我們可以在求解函式解析式的過程中確保恒等變形；
3、求函式解析式的一般方法有：
（1）直接法：根據題給條件，合理設定變數，尋找或構造變數之間的等量關係，列出等式，解出y。
（2）待定係數法：若明確了函式的型別，可以設出其一般形式，然後代值求出引數的值；
（3）換元法：若給出了復合函式f［g（x）］的表示式，求f（x）的表示式時可以令t＝g（x），以換元法解之；
（4）構造方程組法：若給出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的乙個方程，則可以x代換－x（或1/x），構造出另乙個方程，解此方程組，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表示式；
（5）根據實際問題求函式解析式：設定或選取自變數與因變數後，尋找或構造它們之間的等量關係，列出等式，解出y的表示式；要注意，此時函式的定義域除了由解析式限定外，還受其實際意義限定。
（二）求函式定義域
1、函式定義域是函式自變數的取值的集合，一般要求用集合或區間來表示；
2、常見題型是由解析式求定義域，此時要認清自變數，其次要考查自變數所在位置，位置決定了自變數的範圍，最後將求定義域問題化歸為解不等式組的問題；
3、如前所述，實際問題中的函式定義域除了受解析式限制外，還受實際意義限制，如時間變數一般取非負數，等等；
4、對復合函式y＝f［g（x）］的定義域的求解，應先由y＝f（u）求出u的範圍，即g（x）的範圍，再從中解出x的範圍i1；再由g（x）求出y＝g（x）的定義域i2，i1和i2的交集即為復合函式的定義域；
5、分段函式的定義域是各個區間的並集；
6、含有引數的函式的定義域的求解需要對引數進行分類討論，若引數在不同的範圍內定義域不一樣，則在敘述結論時分別說明；
7、求定義域時有時需要對自變數進行分類討論，但在敘述結論時需要對分類後求得的各個集合求並集，作為該函式的定義域；
（三）求函式的值域
1、函式的值域即為函式值的集合，一般由定義域和對應法則確定，常用集合或區間來表示；
2、在函式f：a→b中，集合b未必就是該函式的值域，若記該函式的值域為c，則c是b的子集；若c＝b，那麼該函式作為對映我們稱為「滿射」；
3、分段函式的值域是各個區間上值域的並集；
4、對含引數的函式的值域，求解時須對引數進行分類討論；敘述結論時要就引數的不同範圍分別進行敘述；
5、若對自變數進行分類討論求值域，應對分類後所求的值域求並集；
6、求函式值域的方法十分豐富，應注意總結；
（四）求函式的最值
1、設函式y＝f（x）定義域為a，則當x∈a時總有f（x）≤f（xo）＝m，則稱當x＝xo時f（x）取最大值m；當x∈a時總有f（x）≥f（x1）＝n，則稱當x＝x1時f（x）取最小值n；
2、求函式的最值問題可以化歸為求函式的值域問題；
3、閉區間的連續函式必有最值。
【典型例題】
考點一：求函式解析式
1、直接法：由題給條件可以直接尋找或構造變數之間的聯絡。
例1. 已知函式y＝f（x）滿足xy＜0，4x2－9y2＝36，求該函式解析式。
解：由4x2－9y2＝36可解得：
。說明：這是乙個分段函式，必須分區間寫解析式，不可以寫成的形式。
2、待定係數法：由題給條件可以明確函式的型別，從而可以設出該型別的函式的一般式，然後再求出各個參變數的值。
例2. 已知在一定條件下，某段河流的水流量y與該段河流的平均深度x成反比，又測得該段河流某段平均水深為2m時，水流量為340m3/s，試求該段河流水流量與平均深度的函式關係式。
解：設，代入x，y的值可求得反比例係數k＝780m3/s，故所求函式關係式為。
3、換元法：題目給出了與所求函式有關的復合函式表示式，可將內函式用乙個變數代換。
例3. 已知，試求。
解：設，則，代入條件式可得：，t≠1。故得：。
說明：要注意轉換後變數範圍的變化，必須確保等價變形。
4、構造方程組法：對同時給出所求函式及與之有關的復合函式的條件式，可以據此構造出另乙個方程，聯立求解。
例4. （1）已知，試求；
（2）已知，試求；
解：（1）由條件式，以代x，則得，與條件式聯立，消去，則得：。
（2）由條件式，以－x代x則得：，與條件式聯立，消去，則得：。
說明：本題雖然沒有給出定義域，但由於變形過程一直保持等價關係，故所求函式的定義域由解析式確定，不需要另外給出。
5、實際問題中的函式解析式：這是高考的乙個熱點題型，一般難度不大，所涉及知識點也不多，關鍵是合理設定變數，建立等量關係。
例5. 動點p從邊長為1的正方形abcd的頂點b出發，順次經過c、d再到a停止。設x表示p行駛的路程，y表示pa的長，求y關於x的函式。
解：由題意知：當x∈［0，1］時：y＝x；
當x∈（1，2）時：；
當x∈（2，3）時：；
故綜上所述，有
考點二：求函式定義域
1、由函式解析式求函式定義域：由於解析式中不同的位置決定了變數不同的範圍，所以解題時要認真分析變數所在的位置；最後往往是通過解不等式組確定自變數的取值集合。
例6. 求的定義域。
解：由題意知：，從而解得：x>－2且x≠±4.故所求定義域為：
。2、求分段函式的定義域：對各個區間求並集。
例7. 已知函式由下表給出，求其定義域
解：。3、求與復合函式有關的定義域：由外函式f（u）的定義域可以確定內函式g（x）的範圍，從而解得x∈i1，又由g（x）定義域可以解得x∈i2.
則i1∩i2即為該復合函式的定義域。也可先求出復合函式的表示式後再行求解。
解：又由於x2－4x＋3>0 **
聯立*、**兩式可解得：
例9. 若函式f（2x）的定義域是［－1，1］，求f（log2x）的定義域。
解：由f（2x）的定義域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定義域為［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得，故定義域為。
4、求解含引數的函式的定義域：一般地，須對引數進行分類討論，所求定義域隨引數取值的不同而不同。
例10. 求函式的定義域。
解：若，則x∈r；
若，則；
若，則；
故所求函式的定義域：
當時為r，當時為，當時為。
說明：此處求定義域是對參變數a進行分類討論，最後敘述結論時不可將分類討論的結果寫成並集的形式，必須根據a的不同取值範圍分別論述。
考點三：求函式的值域與最值
求函式的值域和最值的方法十分豐富，下面通過例題來**一些常用的方法；隨著高中學習的深入，我們將學習到更多的求函式值域與最值的方法。
1、分離變數法
例11. 求函式的值域。
解：，因為，故y≠2，所以值域為。
說明：這是乙個分式函式，分子、分母均含有自變數x，可通過等價變形，讓變數只出現在分母中，再行求解。
2、配方法
例12. 求函式y＝2x2＋4x的值域。
解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域為。
說明：這是乙個二次函式，可通過配方的方法來求得函式的值域。類似的，對於可以化為二次函式的函式的值域也可採用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。
3、判別式法
例13. 求函式的值域。
解：可變形為：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由δ≥0可解得：。
說明：對分子分母最高次數為二次的分式函式的值域求解，可以考慮採用此法。要注意兩點：
第一，其定義域一般僅由函式式確定，題中條件不再另外給出；如果題中條件另外給出了定義域，那麼一般情況下就不能用此法求解值域；第二，用判別式法求解函式值域的理論依據是函式的定義域為非空數集，所以將原函式變形為乙個關於x的一元二次方程後，該方程的解集就是原函式的定義域，故δ≥0。
4、單調性法
例14. 求函式，x∈［4，5］的值域。
解：由於函式為增函式，故當x＝4時，ymin＝；當x＝5時，ymax＝，所以函式的值域為。
5、換元法
例15. 求函式的值域。
解：令，則y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域為。
6、分段函式的值域：應為各區間段上值域的並集。
例16. 求函式的值域。
解：當x∈［1，2］時，y∈［1，2］；當x∈2，3］時，y∈4，9］；當x∈3，4］時，y∈5，7］。綜上所述，y∈［1，2］∪3，9］。
［本講所涉及的主要數學思想方法］
1、分類討論的數學思想：對含有參變數的函式定義域、值域及最值的求解，一般情況下都要對參變數進行分類討論，在參變數不同的取值範圍內進行求解。要特別注意對結果的表述。
2、換元的思想：對復合函式定義域、值域及最值的求解，以及對某些無理函式（根號中含有自變數的函式）的處理，通常可以考慮換元，以達到化繁為簡的目的。
3、方程的思想：對某些函式解析式的求解，以及某些函式值的求解，均滲透了方程的思想，主要思路是改變原來的變數之間的角色，重新確定主元，依此主元構造方程進行求解。
【模擬試題】(答題時間：30分鐘)
一. 選擇題
1、函式y＝f（x）的值域是［－2，2］，則函式y＝f（x＋1）的值域是（ ）
a. ［－1，3］ b. ［－3，1］ c. ［－2，2］ d. ［－1，1］
2、已知函式f（x）＝x2－2x，則函式f（x）在區間［－2，2］上的最大值為（ ）
a. 2 b. 4 c. 6 d. 8
3、一等腰三角形的周長為20，底邊長y是關於腰長x的函式，那麼其解析式和定義域是（ ）
a. y＝20－2x（x≤10） b. y＝20－2x（x<10）
c. y＝20－2x（4≤x<10） d. y＝20－2x（54、二次函式y＝x2－4x＋4的定義域為［a，b］（a 一 求函式的解析式 1 函式的解析式表示函式與自變數之間的一種對應關係，是函式與自變數建立聯絡的一座橋梁，其一般形式是y f x 不能把它寫成f x，y 0 2 求函式解析式一般要寫出定義域，但若定義域與由解析式所確定的自變數的範圍一致時，可以不標出定義域 一般地，我們可以在求解函式解析式的過程中確... 一 求函式解析式 1 直接法 例1.已知函式y f x 滿足xy 0，4x2 9y2 36，求該函式解析式。解 由4x2 9y2 36可解得 2 待定係數法 例2.已知在一定條件下，某段河流的水流量y與該段河流的平均深度x成反比，又測得該段河流某段平均水深為2m時，水流量為340m3 s，試求該段河... 知識要點 1 函式的定義域 1 求函式定義域的步驟 寫出使函式式有意義的不等式 組 解不等式 組 寫出函式定義域，注意用區間或集合的形式寫出 2 基本初等函式的定義域 整式函式的定義域為分式函式中分母 偶次根式函式被開方式一次函式 二次函式定義域為 函式的定義域為指數函式的定義域為 對數函式的定義域...求函式的定義域與值域的常用方法
函式的定義域與值域的常用方法
函式的定義域與值域