一、配方法：對於求二次函式或可轉化為形如的函式的值域（最值）一類問題，我們常常可以通過配方法來進行求解.
例1：求二次函式（）的值域.
解：函式的定義域為，，從而函式為對稱軸為的開口向下的二次函式，，.即函式的值域為.
例2：求函式的值域.
解: 此題可以看作是和兩個函式復合而成的函式, 對配方可得:, 得到函式的最大值, 再根據得到為增函式且,
故函式的值域為:.
例3：求函式的最大值與最小值。
例4：求函式的最大值和最小值。
二、換元法：通過引入乙個或多個新變數或代數式代替原來的變數或代數式或超越式，通過換元，我們常常可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式等，這樣我們就能將比較複雜的函式轉化成易於求值域的函式進行求解.
例6：（整體換元） 已知，求函式的值域.
解：令，，，則
。故當即也即時，有最小值；當即也即時，有最小值.函式的值域為.
例7：（整體換元） 求函式的值域.
解：函式的定義域為，令，那麼，
。當即也即時，函式有最大值；函式無最小值.函式的值域為.
點評：對於形如（、、、為常數，）的函式，我們可以利用換元法求其值域.
例10：已知函式的值域為，求函式的值域。
解：令，
由得： ， ∴所求值域為。
三、不等式法：
例11：求函式（）的值域.
解： 當即時，（當即時取得「」）；
當即時，（當即時取得「」）；
的值域為.
例13：求函式的值域.
解:, 當且僅當時成立. 故函式的值域為.
例14：求函式的值域.
解: 此題可以利用判別式法求解, 這裡考慮運用基本不等式法求解此題, 此時關鍵是在分子中分解出項來, 可以一般的運用待定係數法完成這一工作, 辦法是設:, (2)將上面等式的左邊展開, 有:
,故而,. 解得,.
從而原函式;
ⅰ)當時, , , 此時, 等號成立, 當且僅當.
ⅱ)當時, , , 此時有
, 等號成立, 當且僅當.
綜上, 原函式的值域為:.
四、單調性法：對於形如（、、、為常數，）或者形如而使用不等式法求值域卻未能湊效的函式，我們往往可以考慮使用單調性法.
例15：求函式的值域.
解：函式的定義域為，顯然函式在其定義域上是單調遞增的，當時，函式有最小值，故函式的值域為.
例16：求函式（）的值域.
解：，若用不等式法，那麼等號成立的條件為即，顯然這樣的實數不存在，那麼我們就不能使用不等式法來求解了.
為了簡化函式，我們不妨先進行一下換元，設（），則函式就轉化為，，現在我們考查一下函式的單調性：
函式在、上都單調遞減；而在、上單調遞增.
那麼當，函式是單調遞增函式，故當即也即時，函式有最小值，函式的值域為.
例17：求函式的值域。
解：令，則在[2，10]上都是增函式，所以在[2，10]上是增函式。當x=2時，，當x=10時，
故所求函式的值域為：。
例18：求函式的值域.
解: 此題可以看作和,的復合函式, 顯然函式為單調遞增函式, 易驗證亦是單調遞增函式, 故函式也是單調遞增函式. 而此函式的定義域為.當時,取得最小值.當時,取得最大值.
故而原函式的值域為.
例19：求函式的值域。
提示：，，∴都是增函式，故是減函式，因此當時，，又∵，∴。
例20：求函式的值域。
略解：易知定義域為，而在上均為增函式，
∴，故五、判別式法：一般地，形如、、的函式，我們可以將其轉化為（）的形式，再通過求得的範圍.但當函式為指定區間上的函式時，用判別式法求出的範圍後，應將端點值代回到原函式進行檢驗，避免發生錯誤.
例21：求函式的值域.
解：可化為
當即時，方程在實數範圍內有唯一解；
當即時，，，即
解得，函式的值域為
例22：求函式的值域.
解: 先將此函式化成隱函式的形式得1)
這是乙個關於的一元二次方程, 原函式有定義, 等價於此方程有解, 即方程(1)的判別式,解得:. 故原函式的值域為:.
例23：已知函式的定義域為，值域為，求的值.
解：設，則.
，即又，關於的一元二次方程的兩根為1和9，由韋達定理得，解得若時，對應，符合條件.
為所求.
【例20】設函式的值域為，求a,b .
1 化歸二次方程有實數解，利用判別式構造值域的不等式，借助根與係數的關係布列方程組求解.
【例21】已知函式y=f(x)= 的值域為[1,3],求實數b,c的值.
2 解法同上，變形有 （y-2）x2-bx+（y-c）=0，⊿=b—4（y-2）（y-c）=4y2-4（2+c）y+8c-b2＞0，
其解集為[1，3]，解得b=-2，c=2，y=2時也適合.
六、方程法：用方程法求解函式值域是指利用方程有解的條件求函式值的取值範圍即值域的方法，其理論依據是：定理1：
函式（定義域為）的值域是使關於的方程有屬於的解的值的集合. 定理2：若為最簡有理分式，則函式的值域是使關於的方程有解的值的集合.
例24：求函式的值域。
解：由原函式式可得：，∵，∴，解得：，故所求函式的值域為
例25：求函式的值域。
解：由原函式式可得：，可化為：
即，∵， ∴，即 ，解得：
故函式的值域為。
例26：求函式的值域。
解：，因為，則，
故函式的值域為。
例27：求函式的值域。（答案：）
例28：求函式的值域。（答案：）
七、數形結合法：
例29：求函式的值域.
分析: 此題首先是如何去掉絕對值,將其做成乙個分段函式.
在對應的區間內,
畫出此函式的影象, 如圖1所示, 易得出函式的值域為.
例30：求函式的值域。（答案：
例32：求函式的值域。
解：原函式變形為
作乙個長為4、寬為3的矩形abcd，再切割成
12個單位正方形。設hk=,則ek=2,
kf=2,ak=,kc= 。
由三角形三邊關係知，ak+kc≥ac=5。
當a、k、c三點共線時取等號。
∴原函式的知域為｛y|y≥5｝。
例33：求函式的最大值
解： =
=，顯然，求f(x)的最大值就是求點a(x,0)分別到b(-1,2),c(-1,1)的距離之差的最大值.如圖1所示： =|ab|,=|ac|,且|bc|=1.
顯然f(x)=|ab|-|ac|≥|bc|=1當且僅當a,b,c三點共線時取到等號，即當x=-1時.
yy b 2b 2
c 1c 1
1 o 1 x1 o 1 x
圖1圖2
求函式值域的方法
基本函式的值域 一次函式的值域為r.二次函式，當時的值域為，當時的值域為.反比例函式的值域為.指數函式的值域為.對數函式的值域為r.正 余弦函式的值域為，正切函式的值域為r.求函式值域 最值 的常用方法 一 觀察法 例1.求函式的值域。解析 由 故此函式值域為 評注 此方法適用於解答選擇題和填空題 ...
求函式值域的常用方法
在函式的三要素中，對於如何求函式的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經常出現，占有一定的地位，若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。1 直接觀察法 對於一些比較簡單的函式，其值域可通過觀察得到。例1 求函式y 3 的值域。解 0 0 3...
求函式值域的方法方法大全
例析求函式值域的方法 函式的值域是函式三要素之一，求函式的值域是深入學習函式的基礎，它常涉及多種知識的綜合應用，下面通過例題講解，多方探尋值域的途徑。一 直接法 從自變數的範圍出發，推出的取值範圍 例1 求函式的值域。解 因為，所以，所以函式的值域為。二 配方法 是求二次函式值域的基本方法，如的函式...