例談函式值域的求法
1．配方法
主要用於和一元二次函式有關的函式求值域問題．
例1．設，求函式的值域．
解：，，．
當時，函式取得最小值；當時，函式取得最大值，
函式的值域為．
評注：配方法往往需結合函式圖象求值域．
2．單調性法
單調性法是求函式值域的常用方法，就是利用我們所學的基本初等函式的單調性，再根據所給定義域來確定函式的值域．
例2．函式，的值域是
解析：函式和在上都是減函式，所以，所以函式的值域為．
3．數形結合法
對於一些函式（如二次函式、分段函式等）的求值域問題，我們可以借助形象直觀的函式圖象來觀察其函式值的變化情況，再有的放矢地通過函式解析式求函式最值，確定函式值域，用數形結合法，使運算過程大大簡化．
例3．求函式的值域．
分析：求分段函式的值域可作出它的圖象，則其函式值的整體變化情況就一目了然了，從而可以快速地求出其值域．
解：作圖象如圖所示．
，，，，
函式的最大值、最小值分別為和，即函式的值域為．
4．判別式法
對於形如（，不同時為）的函式常採用此法，就是把函式轉化成關於的一元二次方程（二次項係數不為時），通過方程有實數根，從而根的判別式大於等於零，求得原函式的值域．
例4．求函式的值域．
解：原函式化為關於的一元二次方程．
（1）當時，，，解得；
（2）當時，，而．
故函式的值域為．
評注：①在解此類題的過程中要注意討論二次項係數是否為零；②使用此法須在或僅有個別值（個別值是指使分母為的值，處理方法為將它們代入方程求出相應的值，若在求出的值域中則應除去此值）不能取的情況下，否則不能使用，如求函式，的值域，則不能使用此方法．
5．換元法
有時候為了溝通已知與未知的聯絡，我們常常引進乙個（幾個）新的量來代替原來的量，實行這種「變數代換」往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質，發現解題方向，這就是換元法．在求值域時，我們可以通過換元將所給函式化成值域容易確定的另一函式，從而求得原函式的值域．
例5．求的值域．
解：令，則，
，所以函式值域為．
評注：利用引入的新變數，使原函式消去了根號，轉化成了關於的一元二次函式，使問題得以解決．用換元法求函式值域時，必須確定新變數的取值範圍，它是新函式的定義域．
6．反解法
就是用來表示，利用其變形形式求得原函式的值域．
例6．求函式的值域．
解：函式可化為，可得，
所以原函式的值域為．
7．分離常數法
對於分子、分母同次的分式形式的函式求值域問題，因為分子分母都有變數，利用函式單調性確定其值域較困難，因此，我們可以採用湊配分子的方法，把函式分離成乙個常數和乙個分式和的形式，而此時的分式，只有分母上含有變數，進而可利用函式性質確定其值域．
例7．求函式的值域．
解：．，，，，
．函式的值域為．
例談求函式值域的方法
郵箱 boy 郵編 333200 大家都知道函式這一章在整個高中數學學習階段的重要性，它涉及多種知識的綜合應用，並且都是利用函式思想解題，實際上只要有數學表示式就涉及到函式，例如現在常見的不等式恆成立問題 方程的解的問題 不等式的解的問題 應用題中的最值問題等，這些問題如果能構造乙個函式及求其值域就...
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三 注意異面直線的垂直 由於平面幾何中只有相交垂直的情況，所以很多學習者往往形成一種思維定式，認為只有相交才能垂直，而事實上垂直與相交並無必然聯絡，垂直不一定要求相交，如異面直線垂直的情況.異面直線的垂直是垂直中最難理解的垂直關係，需多觀察 多應用.事實上，異面直線之間的垂直是垂直關係在相交直線垂直...
高一數學例析求函式值域的方法
例析求函式值域的方法 曲靖市民族中學張小瓊 求函式的值域常和求函式的最值問題緊密相關，是高中數學的重點和難點。注意 求值域要先求定義域。雖然沒有固定的方法和模式，但常用的方法有 一 直接法 從自變數的範圍出發，推出的取值範圍。例1 求函式的值域。解 函式的值域為。二 影象法 對於二次函式在給定區間求...