【學法導航】
處理三角形問題，必須結合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四類基本可解型，特別要多角度（幾何作圖，三角函式定義，正、餘弦定理，勾股定理等角度）去理解「邊邊角」型問題可能有兩解、一解、無解的三種情況，根據已知條件判斷解的情況，並能正確求解
1.三角形中的邊角關係
三角形內角和等於180°；
三角形中任意兩邊之和大小第三邊，任意兩邊之差小於第三邊；
三角形中大邊對大角，小邊對小角；
正弦定理中,a=2r·sina,b=2r·sinb,c=2r·sinc，其中r是△abc外接圓半徑.
在餘弦定理中:2bccosa=.
三角形的面積公式有:s=ah,s=absinc,s=其中，h是bc邊上高，p是半周長.
2.利用正、餘弦定理及三角形面積公式等解任意三角形
已知兩角及一邊，求其它邊角，常選用正弦定理.
已知兩邊及其中一邊的對角，求另一邊的對角，常選用正弦定理.
已知三邊，求三個角，常選用餘弦定理.
已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角，常選用餘弦定理.
已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角，常選用正弦定理.
3.利用正、餘弦定理判斷三角形的形狀
常用方法是：①化邊為角；②化角為邊.
4.解斜三角形在實際中的運用
5．三角形的面積公式：
（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
（2）△＝absinc＝bcsina＝acsinb；
（3）△＝＝＝；
（4）△＝2r2sinasinbsinc。（r為外接圓半徑）
（5）△＝；
（6）△＝；；
（7）△＝r·s。
6.三角形中的三角變換
三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。
（1）角的變換
因為在△abc中，a+b+c=π，所以sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=－cosc；tan(a+b)=－tanc。；
（2）三角形邊、角關係定理及面積公式，正弦定理，餘弦定理。
r為三角形內切圓半徑，p為周長之半
（3）在△abc中，熟記並會證明：∠a，∠b，∠c成等差數列的充分必要條件是∠b=
60°；△abc是正三角形的充分必要條件是∠a，∠b，∠c成等差數列且a，b，c成等比數列
【專題綜合】
1. 正弦定理與餘弦定理
例1．已知abc中，a，,求
分析：可通過設一引數k(k>0)使,
證明出解：設則有，，
從而==
又，所以=2
小結： abc中，等式恆成立。
[補充練習]已知abc中，，求（答案：1：2：3）
（歸納總結）：
（1）定理的表示形式：；
或，，（2）正弦定理的應用範圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；
②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角
例2．在abc中，已知，，，求b及a
解：∵=cos
== 8 ∴
求可以利用餘弦定理，也可以利用正弦定理：
解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin又∵＞
＜∴＜， 即＜＜ ∴
評述：解法二應注意確定a的取值範圍。
例3．在abc中，已知，，，解三角形
解：由餘弦定理的推論得：
cos ；
cos ；
小結：（1）餘弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是餘弦定理的特例；
（2）餘弦定理的應用範圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。
2. 三角形中的幾何計算
例4.在△abc中，a、b、c分別為角a、b、c的對邊，.
(1)求角a的度數；
(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.
解析：小結：正弦定理和餘弦定理在解斜三角形中應用比較廣泛.
例5.在△abc中,已知=a,b=,b=45°,求a、c及c.
分析：這是乙個已知兩邊及一邊的對角解三角形的問題，可用正弦定理求解，但先要判定△abc是否有解，有幾解，亦可用餘弦定理求解.
解： ∵b=45°<90°,且b由正弦定得:sina=,
∴a=60°或120°.
①當a=60°時,c=75°c=.
②當a=120°時,c=15°c=.
故a=60°,c=75°,c=或a=120°,c=15°,c=.
小結：因sina=sin(π-a),故在解三角形中要考慮多種情況，靈活使用正、餘弦定理,關鍵是將「條件」對號.
3.三角形中的三角恒等變換問題
例6．在△abc中，a、b、c分別是∠a、∠b、∠c的對邊長，已知a、b、c成等比數列，且a2－c2=ac－bc，求∠a的大小及的值。
分析：因給出的是a、b、c之間的等量關係，要求∠a，需找∠a與三邊的關係，故可用餘弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值
解法一：∵a、b、c成等比數列，∴b2=ac。
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
在△abc中，由餘弦定理得：cosa===，∴∠a=60°。
在△abc中，由正弦定理得sinb=，∵b2=ac，∠a=60°，
∴=sin60°=。
解法二：在△abc中，
由面積公式得bcsina=acsinb。
∵b2=ac，∠a=60°，∴bcsina=b2sinb。
∴=sina=。
小結：解三角形時，找三邊一角之間的關係常用餘弦定理，找兩邊兩角之間的關係常用正弦定理。
例7．在△abc中，已知a、b、c成等差數列，求的值。
解：因為a、b、c成等差數列，又a＋b＋c＝180°，所以a＋c＝120°，
從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，
得。所以
。小結：在三角函式求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結合三角變換公式的逆用
4. 正餘弦定理的實際應用
例8．（2009遼寧卷理）如圖，a,b,c,d都在同乙個與水平面垂直的平面內，b，d為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船於水面a處測得b點和d點的仰角分別為，，於水面c處測得b點和d點的仰角均為，ac=0.1km。
試**圖中b，d間距離與另外哪兩點間距離相等，然後求b，d的距離（計算結果精確到0.01km，1.414，2.
449）
解:在△abc中，∠dac=30°, ∠adc=60°－∠dac=30,
所以cd=ac=0.1 又∠bcd=180°－60°－60°=60°，
故cb是△cad底邊ad的中垂線，所以bd=ba，
在△abc中，
即ab=
因此，bd=
故b，d的距離約為0.33km
小結：解三角形等內容提到高中來學習，又近年加強數形結合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數量關係即可過關。
例9.（（2009寧夏海南卷理）為了測量兩山頂m，n間的距離，飛機沿水平方向在a，b兩點進行測量，a，b，m，n在同乙個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的資料有俯角和a，b間的距離，請設計乙個方案，包括：①指出需要測量的資料（用字母表示，並在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算m，n間的距離的步驟
解：方案一：①需要測量的資料有：a 點到m，n點的俯角；b點到m，
n的俯角；a，b的距離 d （如圖所示
②第一步：計算am . 由正弦定理 ；
第二步：計算an . 由正弦定理 ；
第三步：計算mn. 由餘弦定理 .
方案二：①需要測量的資料有：
a點到m，n點的俯角，；b點到m，n點的府角，；a，b的距離 d （如圖所示）.
②第一步：計算bm . 由正弦定理 ；
第二步：計算bn . 由正弦定理
第三步：計算mn . 由餘弦定理
例10.(08上海)如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120o的扇形aob，小區的兩個出入口設定在點a及點c處，且小區裡有一條平行於bo的小路cd，已知某人從c沿cd走到d用了10分鐘，從d沿da走到a用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50公尺，求該扇形的半徑oa的長（精確到1公尺）．（提示：2種求法，如圖）
解：[解法一] 設該扇形的半徑為公尺，連線.
由題意，得 (公尺)，（公尺），
在△中，
即，解得 （公尺）
答：該扇形的半徑的長約為445公尺
[解法二] 連線，作，交於
由題意，得（公尺），
（公尺），
在△中，
（公尺.在直角△中，（公尺），，
（公尺）.
答：該扇形的半徑的長約為445公尺.
小結：對解三角形問題必須熟練地掌握正弦定理和餘弦定理，並且會對公式做多種變形。對三角形三個內角成等差數列，必須知道中間角是60o，在求三角函式最值時，公式的應用要引起足夠的重視
【專題突破】
一、選擇題
1．在中，若=1,c=, =則a的值為（ ）
abc． d．
2．在△abc中，，如果不等式恆成立，則實數t的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
3．定義行列式運算，將函式的圖象向左平移（）個單位，所得圖象對應的函式為偶函式，則的最小值為（ ）
abcd．
4．等腰三角形一腰上的高是，這條高與底邊的夾角為，則底邊長=（ ）
a．2 b． c．3 d．
5．在△abc中，若，則a等於（ ）
a． b． c． d．
6．邊長為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（ ）
a． b． c． d．
7．a為△abc的內角，則的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
8．在△abc中，若則三邊的比等於（ ）
a． b． c． d．
9．在△abc中，若，則其面積等於（ ）
a．12 b． c．28 d．
10．在△abc中，∠c=90°，，則下列各式中正確的是（ ）
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1.2010上海文數 18.若 的三個內角滿足，則 a 一定是銳角三角形b 一定是直角三角形.c 一定是鈍角三角形d 可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.2.2010湖南文數 7.在 abc中，角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c，若 c 120 c a，則 c.a 與b的大小關係不能確定 3....
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