三次函式與導數
高中教材增加導數及應用這一新內容後，高考試題中自然形成了新的知識熱點，圍繞三次函式這一知識點來命題．主要有以下幾類．
一、與三次函式圖象上某點的切線相關的數學問題
例１ 曲線在點（1，－1）處的切線方程為（ ）．
ab．c． d．
分析：先求此處的導數值，即切線的斜率，再由點斜式得出直線的方程．答案選b．．
二、與三次函式有關的單調性問題
例2 若函式在區間（1，4）內為減函式，在區間
（6，+∞）上為增函式，試求實數a的取值範圍．
分析：本小題主要考查導數的概念、應用導數研究函式單調性的基本方法及綜合運用數學知識解題的能力．
解：函式的導數．
令，解得x=1或．
當，即a≤2時，函式在（1，+∞）上是增函式，不合題意．
當，即a＞2時，函式在（∞，1）上為增函式，在（1，1）內為減函式，在（1，+∞）為增函式．
依題意應有當；當則．
解得5≤a≤7．
所以a的取值範圍是［5，7］．
三、與三次函式有關的極值、最值問題
例3 已知a為實數，．
（1）求導數；
（2）若，求在［2，2］上的最大值和最小值；
（3）若在（∞，2］和［2，+∞）上都是遞增的，求a的取值範圍．
解：（1）由原式，得，
∴．（2）由，得 ．
此時有．
令，得或．
又，所以在［2，2］上的最大值為，最小值為．
（3）解法1：因為的圖象是開口向上且過點（0，4）的拋物線，
由條件，得，即．
所以2≤a≤2．
所以a的取值範圍為［2，2］．
解法2：令，即，
由求根公式得，
所以在（］和［）上非負．
由題意可知，，即．
解不等式組，得 ．
所以a的取值範圍是［］．
四、不求導借助函式方程知識求解
值得注意的是，並非所有三次函式都必須用到導數．例4借助圖形特徵，用方程知識求解更好！
例4 已知函式的圖象如圖所示，
則（ ）．
abcd．
解析：觀察圖象，你能夠看到什麼？聯想到什麼？
①圖象過原點，由，可求得；
②圖象通過（1，0）、（2，0）兩點，
顯然有，即，
∴；③ a是什麼數？是正還是負？聯想當時，→+∞，所以有a＞0．
∴，故選a．
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