１．勾股定理
內容：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方；
表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那麼
２.勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
3.勾股定理的適用範圍
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關係，它只適用於直角三角形，對於銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特徵，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的物件是直角三角形
4.勾股定理的應用①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，，則，，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關係③可運用勾股定理解決一些實際問題
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三邊長，，滿足，那麼這個三角形是直角三角形，其中為斜邊
①勾股定理的逆定理是判定乙個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過「數轉化為形」來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，，為三邊的三角形是直角三角形
②定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那麼以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊
③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形
６.勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；;9,12,15等
7、互逆命題的概念
如果乙個命題的題設和結論分別是另乙個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。
（2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關係。
（3）用於證明線段平方關係的問題。
（4）利用勾股定理，作出長為的線段
二、經典例題透析
型別一：勾股定理的直接用法
1、在rt△abc中，∠c=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
型別二：勾股定理的構造應用
2、如圖，已知：在中，，，. 求：bc的長.
型別四：利用勾股定理作長為的線段
5、作長為、、的線段。
型別五：逆命題與勾股定理逆定理
一、寫出下列原命題的逆命題並判斷是否正確
1．原命題：貓有四隻腳．
2．原命題：對頂角相等
3．原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等．
4．原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等．
二、如果δabc的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷δabc的形狀。
型別二：勾股定理的應用
（一）用勾股定理求最短問題
如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高ａｂ為4cm，ｂｃ是上底面的直徑．乙隻螞蟻從點a出發，沿著圓柱的側面爬行到點c，試求出爬行的最短路程．
（二） 梯子滑動問題：
一架長2.5的梯子，斜立在一豎起的牆上，梯子底端距離牆底0.7（如圖），如果梯子的頂端沿牆下滑0.4，那麼梯子底端將向左滑動公尺
（三）直角邊與斜邊和斜邊上的高的關係：
如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於d，設ab=c，ac=b，bc=a，cd=h。
求證：（1）
（2）（3）以
為三邊的三角形是直角三角形
（四）實際應用
如圖，公路mn和公路pq在點p處交匯，且∠qpn＝30°，點a處有一所中學，ap＝160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那麼拖拉機在公路mn上沿pn方向行駛時，學校是否會受到雜訊影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那麼學校受影響的時間為多少秒？
（五）摺疊問題：
如圖，矩形紙片abcd的長ad=9㎝，寬ab=3㎝，將其摺疊，使點d與點b重合，那麼摺疊後de的長是多少？
（六勾股定理和逆定理的綜合應用
四邊形abcd中，∠b=90°，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，求四邊形abcd的面積。
勾股定理知識點和典型例題
勾股定理的證明 勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法 1 方法一 2 方法二 3 針對練習一 勾股數能夠構成直角三角形的三邊長的三個整數稱為勾股數，即 中，為正整數時，稱為一組勾股數。1 記住常見的勾股數可以提高解題速度 2 用含有字母的代數式表示勾股數 針對練習一 判斷題1 由於0.3 0....
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