③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形
６.勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等
③用含字母的代數式表示組勾股數：
（為正整數）；
（為正整數）（，為正整數）７．勾股定理的應用
勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關係的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什麼，以便運用勾股定理進行計算，應設法新增輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解．
8.．勾股定理逆定理的應用
勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關係判斷乙個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論．
9.勾股定理及其逆定理的應用
勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的乙個整體．通常既要通過逆定理判定乙個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：
10、互逆命題的概念
如果乙個命題的題設和結論分別是另乙個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
二、經典例題精講
題型一：直接考查勾股定理
例１.在中，．
⑴已知，．求的長
⑵已知，，求的長分析：直接應用勾股定理
解：⑴⑵
題型二：利用勾股定理測量長度
例題1 如果梯子的底端離建築物9公尺，那麼15公尺長的梯子可以到達建築物的高度是多少公尺？
解析：這是一道大家熟知的典型的「知二求一」的題。把實物模型轉化為數學模型後，.已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！
根據勾股定理ac2+bc2=ab2, 即ac2+92=152,所以ac2=144,所以ac=12.
例題2 如圖（8），水池中離岸邊d點1.5公尺的c處，直立長著一根蘆葦，出水部分bc的長是0.5公尺，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端b恰好落到d點，並求水池的深度ac.
解析：同例題1一樣，先將實物模型轉化為數學模型，如圖2. 由題意可知△acd中,∠acd=90°,在rt△acd中，只知道cd=1.
5，這是典型的利用勾股定理「知二求一」的型別。
標準解題步驟如下（僅供參考）：
解：如圖2，根據勾股定理，ac2+cd2=ad2
設水深ac= x公尺，那麼ad=ab=ac+cb=x+0.5
x2+1.52=（ x+0.5）2
解之得x=2.
故水深為2公尺.
題型三：勾股定理和逆定理並用——
例題3 如圖3，正方形abcd中，e是bc邊上的中點，f是ab上一點，且那麼△def是直角三角形嗎？為什麼？
解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細讀題會意可以發現規律，沒有任何條件，我們也可以開創條件，由可以設ab=4a，那麼be=ce=2 a,af=3 a,bf= a,那麼在rt△afd 、rt△bef和 rt△cde中，分別利用勾股定理求出df,ef和de的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷△def是否是直角三角形。
詳細解題步驟如下：
解：設正方形abcd的邊長為4a,則be=ce=2 a,af=3 a,bf= a
在rt△cde中，de2=cd2+ce2=(4a)2+(2 a)2=20 a2
同理ef2=5a2, df2=25a2
在△def中，ef2+ de2=5a2+ 20a2=25a2=df2
∴△def是直角三角形，且∠def=90°.
注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。
題型四：利用勾股定理求線段長度——
例題4 如圖4，已知長方形abcd中ab=8cm,bc=10cm,在邊cd上取一點e，將△ade摺疊使點d恰好落在bc邊上的點f，求ce的長.
解析：解題之前先弄清楚摺疊中的不變數。合理設元是關鍵。
詳細解題過程如下：
解：根據題意得rt△ade≌rt△aef
∴∠afe=90°, af=10cm, ef=de
設ce=xcm，
則de=ef=cd－ce=8－x
在rt△abf中由勾股定理得：
ab2+bf2=af2，即82+bf2=102，
∴bf=6cm
∴cf=bc－bf=10－6=4(cm)
在rt△ecf中由勾股定理可得：
ef2=ce2+cf2，即(8－x) 2=x2+42
∴64－16x+x2=2+16
∴x=3(cm),即ce=3 cm
注：本題接下來還可以摺痕的長度和求重疊部分的面積。
題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——
例題5 如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面ad邊是否垂直與ab邊和cd邊，他測得ad=80cm，ab=60cm，bd=100cm，ad邊與ab邊垂直嗎？怎樣去驗證ad邊與cd邊是否垂直？
解析：由於實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常擷取部分長度來驗證。
如圖4，矩形abcd表示桌面形狀，在ab上擷取am=12cm,在ad上擷取an=9cm(想想為什麼要設為這兩個長度？)，鏈結mn，測量mn的長度。
①如果mn=15,則am2+an2=mn2,所以ad邊與ab邊垂直；
②如果mn=a≠15,則92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠ a2，所以∠a不是直角。利用勾股定理解決實際問題——
例題6 有乙個感測器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5公尺的牆上，任何東西只要移至5公尺以內，燈就自動開啟，乙個身高1.5公尺的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好開啟？
解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5公尺還是腳先距離燈5公尺，可想而知應該是頭先距離燈5公尺。轉化為數學模型，如圖6 所示，a點表示控制燈，bm表示人的高度，bc∥mn,bc⊥an當頭（b點）距離a有5公尺時，求bc的長度。
已知an=4.5公尺,所以ac=3公尺，由勾股定理，可計算bc=4公尺.即使要走到離門4公尺的時候燈剛好開啟。
題型六：旋轉問題：
例1、如圖，△abc是直角三角形，bc是斜邊，將△abp繞點a逆時針旋轉後，能與△acp′重合，若ap=3，求pp′的長。
變式1：如圖，p是等邊三角形abc內一點，pa=2,pb=,pc=4,求△abc的邊長.
分析：利用旋轉變換，將△bpa繞點b逆時針選擇60°，將三條線段集中到同乙個三角形中，
根據它們的數量關係，由勾股定理可知這是乙個直角三角形.
變式2、如圖，△abc為等腰直角三角形，∠bac=90°，e、f是bc上的點，且∠eaf=45°，
試**間的關係，並說明理由.
題型七：關於翻摺問題
例1、如圖，矩形紙片abcd的邊ab=10cm，bc=6cm，e為bc上一點，將矩形紙片沿ae摺疊，點b恰好落在cd邊上的點g處，求be的長.
變式：如圖，ad是△abc的中線，∠adc=45°，把△adc沿直線ad翻摺，點c落在點c』的位置，bc=4,求bc』的長.
題型八：關於勾股定理在實際中的應用：
例1、如圖，公路mn和公路pq在p點處交匯，點a處有一所中學，ap=160公尺，點a到公路mn的距離為80公尺，假使拖拉機行駛時，周圍100公尺以內會受到噪音影響，那麼拖拉機在公路mn上沿pn方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千公尺/小時，那麼學校受到影響的時間為多少？
題型九：關於最短性問題
例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2公尺，高為4公尺的油罐的下底邊沿a處，它發現在自己的正上方油罐上邊緣的b處有乙隻害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背後對害蟲進行突然襲擊．結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結果保留1位小數，可以用計算器計算）變式：
如圖為一稜長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設乙隻螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面a點沿表面爬行至右側面的b點，最少要花幾秒鐘？
三、課後訓練：
一、填空題
1．如圖(1)，在高2公尺，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需________公尺．
圖(1)
2．種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部底面半徑為2.5㎝，高為12㎝，吸管放進杯裡，杯口外面至少要露出4.6㎝，問吸管要做
3．已知：如圖，△abc中，∠c = 90°，點o為△abc的三條角平分線的交點，od⊥bc，oe⊥ac，of⊥ab，點d、e、f分別是垂足，且bc = 8cm，ca = 6cm，則點o到三邊ab，ac和bc的距離分別等於 cm
4．在一棵樹的10公尺高處有兩隻猴子，乙隻猴子爬下樹走到離樹20公尺處的池塘的a處。另乙隻爬到樹頂d後直接躍到a處，距離以直線計算，如果兩隻猴子所經過的距離相等，則這棵樹高公尺。
5.如圖是乙個**台階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、
2dm，a和b是這個台階兩個相對的端點，a點有乙隻螞蟻，想到b
點去吃可口的食物，則螞蟻沿著台階面爬到b點最短路程是
二、選擇題
1．已知乙個rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ）
a、25b、14c、7d、7或25
2．rt△一直角邊的長為11，另兩邊為自然數，則rt△的周長為（ ）
a、121 b、120c、132d、不能確定
3．如果rt△兩直角邊的比為5∶12，則斜邊上的高與斜邊的比為（ ）
a、60∶13 b、5∶12 c、12∶13 d、60∶169
4．已知rt△abc中，∠c=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則rt△abc的面積是（ ）
a、24cm2b、36cm2 c、48cm2 d、60cm2
5．等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（ ）
八年級數學下冊勾股定理知識點和典
勾股定理 基礎知識 勾股定理 勾股定理的證明 常見方法如下 方法一 化簡可證 方法二 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為 大正方形面積為 所以方法三 化簡得證 3.勾股定理的適用範圍 勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關係，...
人教版八年級數學下冊知識點歸納
第16章分式 16.1分式 1 分式 一般地，如果a b表示兩個整式，並且b中含有字母，那麼式子叫做分式 2 當分母b不為0時，分式有有意義 當分母b不為0，且分子a的值為0時，分式的值為0 3 分式的基本性質 分式的分子與分母同乘 或除以 乙個不等於0的整式，分式的值不變 即 4 分式的約分 利用...
人教版八年級數學下冊知識點總結
因式分解及分式知識點 1 運用公式法 我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形 如果把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。於是有 a2 b2 a b a b a2 2ab b2 a b 2 和a2 2ab b2 a b 2 如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用...