勾股定理
[基礎知識]
１．勾股定理
２.勾股定理的證明
常見方法如下：
方法一：，，化簡可證．
方法二：
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為
所以方法三：，，化簡得證
3.勾股定理的適用範圍
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關係，它只適用於直角三角形
4.勾股定理的逆定理
如果三角形三邊長，，滿足，那麼這個三角形是直角三角形
６.勾股數
1記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等
2用含字母的代數式表示組勾股數：
（為正整數）；
（為正整數）
（，為正整數）
7、互逆命題的概念
如果乙個命題的題設和結論分別是另乙個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
[考點題型]
題型一：直接考查勾股定理
例１.在中，．
⑴已知，．求的長
⑵已知，，求的長
題型二：利用勾股定理測量長度
例題1 如果梯子的底端離建築物9公尺，那麼15公尺長的梯子可以到達建築物的高度是多少公尺？
例題2 如圖（8），水池中離岸邊d點1.5公尺的c處，直立長著一根蘆葦，出水部分bc的長是0.5公尺，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端b恰好落到d點，並求水池的深度ac.
題型三：勾股定理和逆定理並用
例題3 如圖3，正方形abcd中，e是bc邊上的中點，f是ab上一點，且那麼△def是直角三角形嗎？為什麼
題型四：利用勾股定理求線段長度
例題4 如圖4，已知長方形abcd中ab=8cm,bc=10cm,在邊cd上取一點e，將△ade摺疊使點d恰好落在bc邊上的點f，求ce的長. 注：本題接下來還可以摺痕的長度和求重疊部分的面積。
題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直
例題5 如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面ad邊是否垂直與ab邊和cd邊，他測得ad=80cm，ab=60cm，bd=100cm，ad邊與ab邊垂直嗎？怎樣去驗證ad邊與cd邊是否垂直？
例題6 有乙個感測器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5公尺的牆上，任何東西只要移至5公尺以內，燈就自動開啟，乙個身高1.5公尺的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好開啟？
題型六：旋轉問題：
1：如圖，p是等邊三角形abc內一點，pa=2,pb=,pc=4,求△abc的邊長.
分析：利用旋轉變換，將△bpa繞點b逆時針選擇60°，將三條線段集中到同乙個三角形中，
根據它們的數量關係，由勾股定理可知這是乙個直角三角形.
2、如圖，△abc為等腰直角三角形，∠bac=90°，e、f是bc上的點，且∠eaf=45°，
試**間的關係，並說明理由.
題型七：關於翻摺問題
例1、如圖，矩形紙片abcd的邊ab=10cm，bc=6cm，e為bc上一點，將矩形紙片沿ae摺疊，點b恰好落在cd邊上的點g處，求be的長.
.題型八：關於勾股定理在實際中的應用：
例1、如圖，公路mn和公路pq在p點處交匯，點a處有一所中學，ap=160公尺，點a到公路mn的距離為80公尺，假使拖拉機行駛時，周圍100公尺以內會受到噪音影響，那麼拖拉機在公路mn上沿pn方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千公尺/小時，那麼學校受到影響的時間為多少？
題型九：關於最短性問題
例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2公尺，高為4公尺的油罐的下底邊沿a處，它發現在自己的正上方油罐上邊緣的b處有乙隻害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背後對害蟲進行突然襲擊．結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結果保留1位小數，可以用計算器計算）
變式：如圖為一稜長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設乙隻螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面a點沿表面爬行至右側面的b點，最少要花幾秒鐘？
2.如圖，乙個無蓋的正方體盒子的稜長為10cm，得到處有乙隻昆蟲甲，在盒子的內部有乙隻昆蟲乙（盒壁的忽略不計）
（1）假設昆蟲甲在頂點處靜止不動，如圖a，在盒子的內部我們先取稜的中點e，再鏈結ae、，昆蟲乙如果沿途徑爬行，那麼可以在最短的時間內捕捉到昆蟲甲，仔細體會其中的道理，並在圖b中畫一條路徑，使昆蟲乙從頂點a沿這條路爬行，同樣可以在最短的時間內捕捉到昆蟲甲。
（2）如圖b，假設昆蟲甲從點以1 厘公尺/秒的速度在盒子的內部沿向下爬行，同時昆蟲乙從頂點a以2厘公尺/秒的速度在盒壁上爬行，那麼昆蟲乙至少需要多少時間才能捕捉到昆蟲甲？
3.如圖，一塊磚寬an=5㎝，長nd=10㎝，cd上的點f距地面的高fd=8㎝，地面上a處的乙隻螞蟻到b處吃食，要爬行的最短路線是cm
3.如圖，是乙個**台階，它的每一級的長、寬、高分別為20、3、2，a和b是這個台階兩相對的端點，a點有乙隻昆蟲想到b點去吃可口的食物，則昆蟲沿著台階爬到b點的最短路程是分公尺？
4. 如圖，乙隻螞蟻沿邊長為a的正方體表面從點a爬到點b，則它走過的路程最短為（ ）
abcd.
八年級數學下冊勾股定理知識點和典型例習題
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人教版八年級數學下冊知識點總結
因式分解及分式知識點 1 運用公式法 我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形 如果把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。於是有 a2 b2 a b a b a2 2ab b2 a b 2 和a2 2ab b2 a b 2 如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用...