勾股定理知識點及主要題型
【知識點歸納】
考點一：勾股定理
（1）對於任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那麼一定有
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
（2）結論：
①有乙個角是30°的直角三角形，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半。
②有乙個角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半。
例題：例1：已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊。
（1）在rt△abc中，∠c=90°
①若a=5，b=12，則c
②若a∶b=3∶4，c=10則rt△abc的面積是
（2）如果直角三角形的兩直角邊長分別為，2n（n>1），那麼它的斜邊長是（ ）
a、2nb、n+1c、n2－1d、
（3）在rt△abc中，a,b,c為三邊長，則下列關係中正確的是（ ）
a. b.
c. d.以上都有可能
（4）已知乙個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ）
a、25b、14c、7d、7或25
例2：已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關係利用勾股定理求周長、面積等問題。
（1）直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為
（2）已知rt△abc中，∠c=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則rt△abc的面積是（ ）
a、24b、36 c、48 d、60
（3）已知x、y為正數，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的長為直角邊作乙個直角三角形，那麼以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為
a、5b、25c、7d、15
考點二：勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關係，，那麼這個三角形是直角三角形。
（2）常見的勾股數：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n為正整數）
（3）直角三角形的判定方法：
①如果三角形的三邊長a,b,c有關係，，那麼這個三角形是直角三角形。
②有乙個角是直角的三角形是直角三角形。
③兩內角互餘的三角形是直角三角形。
④如果乙個三角形一邊上的中線等於這條邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
例題：例1：勾股數的應用
（1）下列各組資料中的三個數，可作為三邊長構成直角三角形的是（ ）
a. 4，5，6b. 2，3，4
c. 11，12，13 d. 8，15，17
（2）若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（ ）
a、2∶3∶4 b、3∶4∶6 c、5∶12∶13 d、4∶6∶7
例2：利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀
（1）下面的三角形中：
①△abc中，∠c=∠a－∠b；
②△abc中，∠a：∠b：∠c=1：2：3；
③△abc中，a：b：c=3：4：5；
④△abc中，三邊長分別為8，15，17．
其中是直角三角形的個數有（ ）．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
（2）若三角形的三邊之比為，則這個三角形一定是（ ）
a.等腰三角形b.直角三角形
c.等腰直角三角形 d.不等邊三角形
（3）已知a，b，c為△abc三邊，且滿足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（ ）
a.直角三角形b.等腰三角形
c.等腰直角三角形d.等腰三角形或直角三角形
（4）將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數, 得到的三角形是( )
a． 鈍角三角形 b. 銳角三角形 c. 直角三角形 d. 等腰三角形
（5）若△abc的三邊長a,b,c滿足試判斷△abc的形狀。
（6）△abc的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數，且a+b+c是3的倍數，則c應為此三角形為
例3：求最大、最小角的問題
（1）若三角形三條邊的長分別是7,24,25，則這個三角形的最大內角是度。
（2）已知三角形三邊的比為1：：2，則其最小角為
考點三：勾股定理的應用
例1：求長度問題
（1）小明想知道學校旗桿的高，他發現旗桿頂端的繩子垂到地面還多1公尺，當他把繩子的下端拉開5公尺後，發現下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。
（2）在一棵樹10m高的b處，有兩隻猴子，乙隻爬下樹走到離樹20m處的池塘a處；另外乙隻爬到樹頂d處後直接躍到a外，距離以直線計算，如果兩隻猴子所經過的距離相等，試問這棵樹有多高？
例3：最短路程問題
（1）如圖1，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，ab，cd分別是兩底面的直徑，ad，bc是母線，若乙隻小蟲從a點出發，從側面爬行到c點，則小蟲爬行的最短路線的長度是結果保留根式）
（2）如圖2，有乙個長、寬、高為3公尺的封閉的正方體紙盒，乙隻昆蟲從頂點a要爬到頂點b，那麼這只昆蟲爬行的最短距離為
圖1圖2）
例4：航海問題
（1）一輪船以16海浬/時的速度從a港向東北方向航行，另一艘船同時以12海浬/時的速度從a港向西北方向航行，經過1.5小時後，它們相距________海浬．
（2）（深圳）如圖1，某貨船以24海浬／時的速度將一批重要物資從a處運往正東方向的m處，在點a處測得某島c在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達b處，此時又測得該島在北偏東30°的方向上，已知在c島周圍9海浬的區域內有暗礁，若繼續向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。
圖1圖2）
（3）如圖2，某沿海開放城市a接到颱風警報，在該市正南方向260km的b處有一颱風中心，沿bc方向以15km/h的速度向d移動，已知城市a到bc的距離ad=100km，那麼颱風中心經過多長時間從b點移到d點？如果在距颱風中心30km的圓形區域內都將有受到颱風的破壞的危險，正在d點休閒的遊人在接到颱風警報後的幾小時內撤離才可脫離危險？
例5：網格問題
（1）如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形abc中，邊長為無理數的邊數是（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
（2）如圖，正方形網格中的△abc，若小方格邊長為1，則△abc是 （ ）
a.直角三角形 b.銳角三角形 c.鈍角三角形 d.以上答案都不對
（3）如圖，小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形abcd的面積是 ( )
a． 25 b. 12.5 c. 9 d. 8.5
（圖1圖2圖3）
例6：圖形問題
（1）如圖1，求該四邊形的面積
（2）（2010四川宜賓）如圖2，已知，在△abc中，∠a= 45°，ac=，ab= +1，則邊bc的長為
圖1圖2）
（3）某公司的大門如圖所示,其中四邊形ａｂ ｃｄ是長方形,上部是以ａｄ為直徑的半圓,其中ａｂ=2.3ｍ，ｂｃ=2ｍ,現有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5ｍ,寬為1.
6ｍ,問這輛卡車能否通過公司的大門?並說明你的理由
. （4）（太原）將一根長24㎝的筷子置於地面直徑為5㎝，高為12㎝的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長為h㎝，則h的取值範圍
1.（2010 廣西欽州市）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊ac＝6 cm、bc＝8 cm
現將△abc摺疊，使點b與點a重合，摺痕為de，則be的長為
（a）4 cmb）5 cm （c）6 cm （d）10 cm
2．（2010 山東荷澤）（本題滿分8分）如圖所示，在rt△abc中，∠c＝90°，∠a＝30°，bd是∠abc的平分線，cd＝5㎝，求ab的長．
八年級數學下冊勾股定理知識點和典
勾股定理 基礎知識 勾股定理 勾股定理的證明 常見方法如下 方法一 化簡可證 方法二 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為 大正方形面積為 所以方法三 化簡得證 3.勾股定理的適用範圍 勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關係，...
八年級上勾股定理
第一章勾股定理綜合測試 一 選擇題 每小題4分，共32分 1 以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是 a 2，3，4b 10，8，4 c 7，25，24 d 7，15，12 2 已知乙個rt 的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是 a 25 b 14 c 7 d 7或25 3 以面積為9 cm2...
八年級數學下冊勾股定理知識點和典型例習題
勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成 當斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形 勾股數 能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，為正整數時，稱，為一組勾股數 記住常見的勾股數可以提高解題速度，如 等 用含字母的代數式表示組勾股數 為正整數 為正整數 為正整數 ...