勾股定理
一．知識歸納
１．勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方；
表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那麼
要點詮釋：
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關係的問題
２.勾股定理的證明
常見的是拼圖的方法， 用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
常見方法如下：
方法一：，，化簡可證．
方法二：
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為
所以方法三：，，化簡得證
３.勾股定理的適用範圍
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關係，它只適用於直角三角形，對於銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特徵，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的物件是直角三角形
４.勾股定理的應用
勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關係的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什麼，以便運用勾股定理進行計算，應設法新增輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解．
①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊
在中，，則，，
②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關係
③可運用勾股定理解決一些實際問題
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三邊長，，滿足，那麼這個三角形是直角三角形，其中為斜邊
①勾股定理的逆定理是判定乙個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過「數轉化為形」來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；
②定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那麼以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊
③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形
5、利用勾股定理作長為的線段
作長為、、的線段。
思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等於，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。
作法：如圖所示
（1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角△acb，使ab為斜邊；
（2）以ab為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為；
（3）順次這樣做下去，最後做到直角三角形，這樣斜邊、、、的長度就是
、、、。
舉一反三 【變式】在數軸上表示的點。
解析：可以把看作是直角三角形的斜邊，，
為了有利於畫圖讓其他兩邊的長為整數，
而10又是9和1這兩個完全平方數的和，得另外兩邊分別是3和1。
作法：如圖所示在數軸上找到a點，使oa=3，作ac⊥oa且擷取ac=1，以oc為半徑，
以o為圓心做弧，弧與數軸的交點b即為。
要點詮釋：
勾股定理的逆定理是判定乙個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過「數轉化為形」來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；
（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關係，若c2＝a2+b2，則△abc是以∠c為直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，則△abc是以∠c為鈍角的鈍角三角形；若c2（定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那麼以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）
．勾股定理逆定理的應用
勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關係判斷乙個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論．
勾股定理及其逆定理的應用
勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的乙個整體．通常既要通過逆定理判定乙個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．
常見圖形：
６.勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等
③用含字母的代數式表示組勾股數：
（為正整數）； （為正整數）
（，為正整數）
勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯絡
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯絡：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
互逆命題的概念
如果乙個命題的題設和結論分別是另乙個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
規律方法指導
1．勾股定理的證明實際採用的是圖形面積與代數恒等式的關係相互轉化證明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關係，可以用於解決求解直角三角形邊邊關係的題目。
3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關係：a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定乙個三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.應用勾股定理的逆定理判定乙個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對「數形結合」的理解．
我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
勾股定理知識點總結及練習
一 基礎知識點 1 勾股定理 直角三角形兩直角邊a b的平方和等於斜邊c的平方。即 a2 b2 c2 要點詮釋 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用 1 已知直角三角形的兩邊求第三邊 在中，則，2 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊 3...
勾股定理全章知識點總結
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勾股定理知識點和典型例題
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