一．基礎知識點：
1：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要點詮釋：
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關係的問題
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關係a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形。
要點詮釋：
勾股定理的逆定理是判定乙個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過「數轉化為形」來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；
（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關係，若c2＝a2+b2，則△abc是以∠c為直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，則△abc是以∠c為鈍角的鈍角三角形；若c2（定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那麼以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）
3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯絡
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯絡：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
4：互逆命題的概念
如果乙個命題的題設和結論分別是另乙個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
規律方法指導
1．勾股定理的證明實際採用的是圖形面積與代數恒等式的關係相互轉化證明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關係，可以用於解決求解直角三角形邊邊關係的題目。
3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關係：a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定乙個三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.應用勾股定理的逆定理判定乙個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對「數形結合」的理解．
我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
5：勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
常見方法如下：
方法一：，，化簡可證．
方法二：
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為所以
方法三：，，化簡得證
6：勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等
③用含字母的代數式表示組勾股數：（為正整數）；
（為正整數）（，為正整數）
二、經典例題精講
題型一：直接考查勾股定理
例１.在中，．
⑴已知，．求的長
⑵已知，，求的長分析：直接應用勾股定理
解：⑴⑵
題型二：利用勾股定理測量長度
例題1 如果梯子的底端離建築物9公尺，那麼15公尺長的梯子可以到達建築物的高度是多少公尺？
解析：這是一道大家熟知的典型的「知二求一」的題。把實物模型轉化為數學模型後，.已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！
根據勾股定理ac2+bc2=ab2, 即ac2+92=152,所以ac2=144,所以ac=12.
例題2 如圖（8），水池中離岸邊d點1.5公尺的c處，直立長著一根蘆葦，出水部分bc的長是0.5公尺，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端b恰好落到d點，並求水池的深度ac.
解析：同例題1一樣，先將實物模型轉化為數學模型，如圖2. 由題意可知△acd中,∠acd=90°,在rt△acd中，只知道cd=1.
5，這是典型的利用勾股定理「知二求一」的型別。
標準解題步驟如下（僅供參考）：
解：如圖2，根據勾股定理，ac2+cd2=ad2
設水深ac= x公尺，那麼ad=ab=ac+cb=x+0.5
x2+1.52=（ x+0.5）2
解之得x=2.
故水深為2公尺.
題型三：勾股定理和逆定理並用——
例題3 如圖3，正方形abcd中，e是bc邊上的中點，f是ab上一點，且那麼△def是直角三角形嗎？為什麼？
解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細讀題會意可以發現規律，沒有任何條件，我們也可以開創條件，由可以設ab=4a，那麼be=ce=2 a,af=3 a,bf= a,那麼在rt△afd 、rt△bef和 rt△cde中，分別利用勾股定理求出df,ef和de的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷△def是否是直角三角形。
詳細解題步驟如下：
解：設正方形abcd的邊長為4a,則be=ce=2 a,af=3 a,bf= a
在rt△cde中，de2=cd2+ce2=(4a)2+(2 a)2=20 a2
同理ef2=5a2, df2=25a2
在△def中，ef2+ de2=5a2+ 20a2=25a2=df2
∴△def是直角三角形，且∠def=90°.
注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。
題型四：利用勾股定理求線段長度——
例題4 如圖4，已知長方形abcd中ab=8cm,bc=10cm,在邊cd上取一點e，將△ade摺疊使點d恰好落在bc邊上的點f，求ce的長.
解析：解題之前先弄清楚摺疊中的不變數。合理設元是關鍵。
詳細解題過程如下：
解：根據題意得rt△ade≌rt△aef
∴∠afe=90°, af=10cm, ef=de
設ce=xcm，
則de=ef=cd－ce=8－x
在rt△abf中由勾股定理得：
ab2+bf2=af2，即82+bf2=102，
∴bf=6cm
∴cf=bc－bf=10－6=4(cm)
在rt△ecf中由勾股定理可得：
ef2=ce2+cf2，即(8－x) 2=x2+42
∴64－16x+x2=2+16
∴x=3(cm),即ce=3 cm
注：本題接下來還可以摺痕的長度和求重疊部分的面積。
題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——
例題5 如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面ad邊是否垂直與ab邊和cd邊，他測得ad=80cm，ab=60cm，bd=100cm，ad邊與ab邊垂直嗎？怎樣去驗證ad邊與cd邊是否垂直？
解析：由於實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常擷取部分長度來驗證。
如圖4，矩形abcd表示桌面形狀，在ab上擷取am=12cm,在ad上擷取an=9cm(想想為什麼要設為這兩個長度？)，鏈結mn，測量mn的長度。
①如果mn=15,則am2+an2=mn2,所以ad邊與ab邊垂直；
②如果mn=a≠15,則92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠ a2，所以∠a不是直角。利用勾股定理解決實際問題——
例題6 有乙個感測器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5公尺的牆上，任何東西只要移至5公尺以內，燈就自動開啟，乙個身高1.5公尺的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好開啟？
解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5公尺還是腳先距離燈5公尺，可想而知應該是頭先距離燈5公尺。轉化為數學模型，如圖6 所示，a點表示控制燈，bm表示人的高度，bc∥mn,bc⊥an當頭（b點）距離a有5公尺時，求bc的長度。
已知an=4.5公尺,所以ac=3公尺，由勾股定理，可計算bc=4公尺.即使要走到離門4公尺的時候燈剛好開啟。
題型六：旋轉問題：
例1、如圖，△abc是直角三角形，bc是斜邊，將△abp繞點a逆時針旋轉後，能與△acp′重合，若ap=3，求pp′的長。
變式1：如圖，p是等邊三角形abc內一點，pa=2,pb=,pc=4,求△abc的邊長.
分析：利用旋轉變換，將△bpa繞點b逆時針選擇60°，將三條線段集中到同乙個三角形中，
根據它們的數量關係，由勾股定理可知這是乙個直角三角形.
變式2、如圖，△abc為等腰直角三角形，∠bac=90°，e、f是bc上的點，且∠eaf=45°，
試**間的關係，並說明理由.
題型七：關於翻摺問題
例1、 如圖，矩形紙片abcd的邊ab=10cm，bc=6cm，e為bc上一點，將矩形紙片沿ae摺疊，點b恰好落在cd邊上的點g處，求be的長.
變式：如圖，ad是△abc的中線，∠adc=45°，把△adc沿直線ad翻摺，點c落在點c』的位置，bc=4,求bc』的長.
題型八：關於勾股定理在實際中的應用：
例1、如圖，公路mn和公路pq在p點處交匯，點a處有一所中學，ap=160公尺，點a到公路mn的距離為80公尺，假使拖拉機行駛時，周圍100公尺以內會受到噪音影響，那麼拖拉機在公路mn上沿pn方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千公尺/小時，那麼學校受到影響的時間為多少？
題型九：關於最短性問題
例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2公尺，高為4公尺的油罐的下底邊沿a處，它發現在自己的正上方油罐上邊緣的b處有乙隻害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背後對害蟲進行突然襲擊．結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結果保留1位小數，可以用計算器計算）變式：
如圖為一稜長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設乙隻螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面a點沿表面爬行至右側面的b點，最少要花幾秒鐘？
勾股定理全章知識點總結
勾股定理 知識脈絡 基礎知識 勾股定理 1 內容 直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方 表示方法 如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那麼.2 勾股定理的證明 勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改...
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一 基礎知識點 1 勾股定理 直角三角形兩直角邊a b的平方和等於斜邊c的平方。即 a2 b2 c2 要點詮釋 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用 1 已知直角三角形的兩邊求第三邊 在中，則，2 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊 3...
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