一．基礎知識點：
1：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要點詮釋：
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關係的問題
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關係a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形。
要點詮釋：
勾股定理的逆定理是判定乙個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過「數轉化為形」來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；
（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關係，若c2＝a2+b2，則△abc是以∠c為直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，則△abc是以∠c為鈍角的鈍角三角形；若c2（定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那麼以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）
3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯絡
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯絡：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
4：互逆命題的概念
如果乙個命題的題設和結論分別是另乙個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
5：勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
常見方法如下：
方法一：，，化簡可證．
方法二：
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為所以
方法三：，，化簡得證
6：勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等
③用含字母的代數式表示組勾股數：（為正整數）；
（為正整數）（，為正整數）
二、規律方法指導
1．勾股定理的證明實際採用的是圖形面積與代數恒等式的關係相互轉化證明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關係，可以用於解決求解直角三角形邊邊關係的題目。
3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關係：a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定乙個三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.應用勾股定理的逆定理判定乙個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對「數形結合」的理解．
我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
勾股定理典型例題及專項訓練
專題一：直接考查勾股定理及逆定理
例１.在中，．
⑴已知，．求的長 ⑵已知，，求的長分析：
練習：1、如圖所示，在四邊形abcd中， bad=， dbc=，ad=3，ab=4，bc=12，求cd。
2．已知等腰三角形腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。
3、已知：如圖，∠b=∠d=90°，∠a=60°，ab=4，cd=2。求：四邊形abcd的面積。
例2：已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊。
練習：在abc中，ab=13，ac=15，高ad=12，則bc的長為多少？
例3：（1）.已知abc的三邊、、滿足，則abc為三角形
（2）.在abc中，若=（+）（-），則abc是三角形，且
練習：1、已知與互為相反數，試判斷以、、為三邊的三角形的形狀。
2、.若abc的三邊、、滿足條件，試判斷abc的形狀。
3.已知則以、、為邊的三角形是
例4：已知如圖，在△abc中，∠c=60°，ab=，ac=4，ad是bc邊上的高，求bc的長。
如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於d，設ab=c，ac=b，bc=a，cd=h。
求證：（1）
（2）（3）以為三邊的三角形是直角三角形
經典圖形突破：
練習1.如圖，△abc中，ab=ac，∠a=45，ac的垂直平分線分別交ab、ac於d、e，若cd=1，則bd等於( )
a．1 b． c． d．
2.已知一直角三角形的斜邊長是2，周長是2+，求這個三角形的面積．
3.△abc中，d是ab的中點，若ac=12，bc=5，cd=6．5． 求證：△abc是直角三角形．
4.如圖，在正方形abcd中，f為dc的中點，e為bc上一點，且ec=bc，
猜想af與ef的位置關係，並說明理由．
5.如圖， ,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積
6.如圖2-10，△abc中，ab=ac=20，bc=32，d是bc上一點，且ad⊥ac，求bd的長．
7.如圖2-9，△abc中，∠acb=90°，ac=bc，p是△abc內一點，滿足pa=3，pb=1，pc=2，求∠bpc的度數．
8.已知△abc中，∠acb=90°，ac=3,bc=4,（1）ad平分∠bac,交bc於d點。求cd長
2）be平分∠abc,交ac於e，求ce長
9.如圖，在四邊形abcd中，∠a＝600，∠b＝∠d＝900，bc＝2，cd＝3，求ab的長
10.如圖，p為△abc邊bc上一點，pc＝2pb，已知∠abc＝450，∠apc＝600，求∠acb的度數。
11、已知△abc中，∠bac＝750，∠c＝600，bc＝，求ab、ac的長。
12、如圖，△abc中，ad是高，ce是中線，dc＝be，dg⊥ce於g。
（1）求證：g是ce的中點；
（2）∠b＝2∠bce。
（3）若ac=6,ab=8，求dg的長。
專題二勾股定理的證明
1、利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖．從圖中可以看到：大正方形面積＝小正方形面積＋四個直角三角形面積．因而
c2化簡後即為c2
2、如圖，是2023年8月北京第24屆國際數學家大會會標，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的長分別為
3、2023年8月20～28日在北京召開了第24屆國際數學家大會．大會會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形拼成的（直角邊長分別為2和3），則大正方形的面積是 ．
4、如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（ ）
（ａ）461655
5、乙個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發現了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴盒的乙個側面倒下到的位置，鏈結，設，請利用四邊形的面積證明勾股定理：.
6、如圖是2023年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會會標中的圖案，其中四邊形abcd和ef都是正方形. 證：△abf≌△dae
7、（2023年遼寧省丹東市）圖①是乙個邊長為的正方形，小穎將
圖①中的陰影部分拼成圖②的形狀，由圖①和圖②
能驗證的式子是（ ）
ab．cd．專題三網格中的勾股定理
1、如圖1，在單位正方形組成的網格圖中標有ab、cd、ef、gh四條線段，其中能構成乙個直角三角形三邊的線段是（ ）
（a）cd、ef、gh （b）ab、ef、gh （c）ab、cd、gh （d）ab、cd、ef
2、如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形abc中，邊長為無理數的邊數是（ ）
a． 0b． 1 c． 2d． 3
3、（2023年四川省眉山市）如圖，每個小正方形的邊長為1，a、b、c是小正方形
的頂點，則∠abc的度數為（ ）
a．90° b．60° c．45° d．30°
4、如圖，小正方形邊長為1，連線小正方形的三個得到，可得△abc，則邊ac上的高為（ ）
abcd.
5、如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點稱為格點，請以圖中的格點為頂點畫乙個邊長為3、、的三角形．所畫的三角形是直角三角形嗎?說明理由．
6、如圖，每個小正方形的邊長是1，在圖中畫出面積為2的三個形狀不同的三角形（要求頂點在交點處，其中至少有乙個鈍角三角形）
專題四實際應用建模測長
1、如圖（8），水池中離岸邊d點1.5公尺的c處，直立長著一根蘆葦，出水部分bc的長是0.5公尺，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端b恰好落到d點，並求水池的深度ac.
2、有乙個感測器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5公尺的牆上，任何東西只要移至5公尺以內，燈就自動開啟，乙個身高1.5公尺的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好開啟？
3、颱風是一種自然災害，它以颱風中心為圓心在周圍數十千公尺範圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據氣象觀測，距沿海某城市a的正南方向220千公尺b處有一颱風中心，其中心最大風力為12級，每遠離颱風中心20千公尺，風力就會減弱一級，該颱風中心現正以15千公尺/時的速度沿北偏東30方向往c移動，且颱風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級，則稱為受颱風影響.
勾股定理全章知識點總結大全A
一 基礎知識點 1 勾股定理 直角三角形兩直角邊a b的平方和等於斜邊c的平方。即 a2 b2 c2 要點詮釋 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用 1 已知直角三角形的兩邊求第三邊 在中，則，2 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊 3...
勾股定理全章知識點總結
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勾股定理全章知識點歸納總結
一 基礎知識點 1 勾股定理 直角三角形兩直角邊a b的平方和等於斜邊c的平方。即 a2 b2 c2 要點詮釋 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用 1 已知直角三角形的兩邊求第三邊 在中，則，2 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊 3...