第十八章、勾股定理
第一節、知識梳理
勾股定理
●學習目標
1. 掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法.
2. 能運用勾股定理解決實際問題．
●重點難點
重點： 了解勾股定理，並能正確合理的運用.
難點： 勾股定理的證明.
●知識概要
1. 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，那麼a２＋b２＝c２，即直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方．
2. 勾股定理的應用.
勾股定理是直角三角形的乙個重要的性質，它是把三角形由乙個直角的「形」的特徵轉化為三邊「數」的關係，因此它是數形結合的乙個典範.
3. 勾股定理的證法.
●知識鏈結
1. 勾股定理的歷史背景.
我國是最早了解勾股定理的國家之一，商朝數學家商高提出了「勾
三、股四、弦五」，被記載於《周髀算經》中．在歐洲，通常把勾股定理稱為畢達哥拉斯定理.
2. 與直角三角形有關的問題.
（1） 直角三角形的定義.
（2） 直角三角形的性質：直角三角形中兩個銳角互餘；如果乙個銳角等於30°，則它所對的直角邊等於斜邊的一半；直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半等.
●中考視點
勾股定理是幾何中的一條重要定理，它揭示了直角三角形三邊之間的關係，中考對於這部分的考查主要是勾股定理的運用：
（１）運用勾股定理解直角三角形：已知三角形的兩邊求第三邊．
（２）利用勾股定理證明一些具有平方的關係式．
（３）運用勾股定理在數軸上找到一些和無理數對應的點．
勾股定理的逆定理
●學習目標
１. 掌握勾股定理的逆定理，並會用它判定乙個三角形是不是直角三角形.
２. 理解並初步掌握利用三角形全等及代數計算來證明直角三角形的方法.
●重點難點
重點：勾股定理的逆定理及其應用.
難點：勾股定理的逆定理的證明及應用.
●知識概要
勾股定理是將直角三角形的形的特徵轉化為數的特徵，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依據，是由數定形．
1. 勾股定理的逆定理：如果乙個三角形的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形．
２. 如果兩個命題的題設結論正好相反，我們把這樣的兩個命題叫作互逆命題．如果把其中的乙個叫做原命題，那麼另乙個叫作它的逆命題．
３. 如果乙個定理的逆命題經過證明是正確的，那麼它也是乙個定理，稱這兩個定理互為逆定理．
４. 能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股陣列．
●知識鏈結
（1）勾股定理與勾股定理的逆定理是兩個互逆的命題.
（2）勾股數：滿足條件a2＋b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數.常見的勾股陣列有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；20，21，29；9，40，
41；…這些勾股陣列的整數倍數仍然是勾股陣列.
●中考考點
勾股定理的逆定理是證明乙個三角形是直角三角形的重要定理，中考中經常利用它來求角，證明線段的垂直關係以及確定三角形的形狀．
第二節、教材解讀
一、勾股定理的內容
勾股定理的內容是：如果直角三角形兩直角邊分別是a、b，斜邊是c，那麼a2+b2＝c2.
因此，在運用勾股定理計算三角形的邊長時，一要注意勾股定理的適用條件是在直角三角形中；二要注意表示式的靈活變形，即兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方.在直角三角形中，已知任意兩條邊長，可求出第三條邊的長.
二、正確判定乙個三角形是否是直角三角形
如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2＝c2，那麼這個三角形就是直角三角形.
這一識別方法與勾股定理的條件和結論正好相反，即為勾股定理的逆定理.有了直角三角形的這一判別方法可以通過計算判斷乙個三角形是否為直角三角形.
要判斷乙個三角形是不是直角三角形，一是確定最大邊，即斜邊c；二是驗證c2與 a2+b2是否相等.若c2＝a2+b2，則△abc是直角三角形，且∠c＝90°；若c2≠a2+b2，則△abc不是直角三角形.
三、熟練掌握勾股定理在實際生活中的應用
勾股定理有著廣泛的應用.如求線段的長、求角度的大小、說明線段的平方關係問題、求作長為的線段等等.以求作長為的線段為例，利用勾股定理作出長為…的線段，如下左圖所示．
用同樣的方法我們可以在數軸上畫出表示…的點，如下右圖所示.
四、勾股定理逆定理的推導
勾股定理告訴我們，如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那麼a２＋b２＝c２，即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方．反之如果我們已知乙個三角形的三條邊長分別為a、b、c，邊長之間滿足關係a２＋b２＝c２，那麼我們是否能夠據此確定三角形的形狀呢？
下面是３組三角形邊長的資料以及根據各組資料畫出的三角形，
（１）a＝６，b＝８，c＝１０；
（２）a＝５，b＝１２，c＝１３；
（３）a＝１５，b＝２０，c＝２５．
我們觀察上面給出的三組三角形的邊長就會發現，上面三個三角形的邊長都滿足關係a２＋b２＝c２，我們再觀察上面三個根據已知邊長畫出的三角形，我們發現三個三角形都是直角三角形．根據我們現在所掌握的這些個例的情況，我們可以先進行大膽的猜測：
如果乙個三角形的三邊長a、b、c滿足a２＋b２＝c２，那麼這個三角形是直角三角形．
我們的猜測是否正確呢？要確定我們根據幾個特殊情況猜測得出的結論是否正確，我們必須要在一般情況中對其加以證明．
【例題】 已知△ａｂｃ的三邊ｂｃ＝a、ａｃ＝b、ａｂ＝c且滿足條件a２＋b２＝c２，試判斷△ａｂｃ是否為直角三角形．
【思考與分析】 根據前面學習的勾股定理，我們知道如果乙個直角三角形以a、b為直角邊，那麼它的斜邊c必滿足c２＝a２+b２，那麼這個直角三角形的三邊就與△ａｂｃ的三邊分別對應相等，所以說如果△ａｂｃ是直角三角形，那麼它必與以a、b為直角邊的直角三角形全等．
解：我們作ｒtb，ｂ′ｃ′＝a．
根據勾股定理：ａ′ｂ′２＝a２＋b２．
又∵ △ａｂｃ的三邊a、b、c滿足條件a２+b２＝c２，
∴ ａｂ＝c＝ａ′ｂ′．
又∵在△ａｂｃ中ｂｃ＝a、ａｃ＝b、ａｂ＝c，
t ∴ △ａｂｃ是直角三角形，∠ｃ＝９０°．
【小結】探索勾股定理的逆定理的過程遵循了從特殊到一般這樣一條認識事物的規律,首先我們是通過已掌握的幾個有限個例來歸納猜想出結論,然後就其成立與否再在一般情況下進行證明.
第三節、錯解剖析
一、勾股定理只能在直角三角形中運用
【例1】 在△abc中，ac=3，bc=4，則ab的長為（ ）.
a. 5 b. 10
c. 4 d. 大於1且小於7
常見錯誤： a.
錯誤分析： 題意是已知三角形的兩邊求第三邊，解題者錯誤地用直角三角形代替了任意三角形進行求解，沒有注意題目中並沒有給出直角三角形的前提條件，所以不能用勾股定理，只能用「兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊」判斷出ab的範圍.
正確答案： d.
二、運用勾股定理時要分清斜邊和直角邊
【例2】 在ｒt△abc中，ac=9，bc=12，則ab2= .
常見錯誤： 在ｒt△abc中，利用勾股定理，得ab2＝ac2＋bc2=225.
錯誤分析： 沒有區分要求的ab是直角邊還是斜邊，只是模糊地記住了勾股定理的原形，而沒有注意到題目中並沒有給出明確的條件，對此我們應該分情況討論，如果ab是斜邊，則利用勾股定理，得ab2＝ac2＋bc2=225；如果ab是直角邊，因為bc>ac，所以bc為斜邊，則利用勾股定理，得ab2＝bc2－ac2＝63.
∴ ab2為225或63.
正確答案： 225或63.
三、給定三角形要分形狀運用勾股定理
【例3】 在△ａｂｃ中，ａｂ=13，ａｃ=15，高ａｄ=12，求△ａｂｃ的周長．
常見錯誤：根據勾股定理，
ｂｄ2＝ａｂ2-ａｄ2
＝１３2－１２2
＝２５，
ｃｄ2＝ａｃ2-ａｄ2
＝１５2－１２2
＝８１，
此時，△ａｂｃ的周長為
錯誤分析：△ａｂｃ可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.錯誤答案是只討論了△ａｂｃ是銳角三角形而忽視了它還可能為鈍角三角形的情況.
正確答案：應該分情況討論，當△ａｂｃ是銳角三角形時，解法如上.
當△ａｂｃ是鈍角三角形時，其圖如下，
根據勾股定理，
ｂｄ2＝ａｂ2-ａｄ2
＝１３2－１２2
＝２５，
ｃｄ2＝ａｃ2-ａｄ2＝１５2－１２2＝８１，
此時，△ａｂｃ的周長為：
故△ａｂｃ的周長為42或32.
四、不能正確區分直角邊和斜邊
【例4】 已知乙個三角形的三邊長a=5，b=13，c=12，這個三角形是直角三角形嗎？
錯解： 不是.在三角形中，利用勾股定理，a2＋b2＝194，c2＝144. a2＋b2≠c2，故此三角形不是直角三角形.
錯解分析：本題中雖然a2＋b2≠c2，但我們不能因此就認定這個三角形不是直角三角形，我們應該首先分析一下這三個邊，邊長最長的應為斜邊，即b為斜邊，b2＝169，a2＋c2＝25＋144＝169，即a2＋c2＝b2，故這個三角形為直角三角形.因此我們在做題時，先找到最長邊，即確定斜邊，可以讓我們少走彎路.
正確答案： 是.
【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三邊之間的數量關係來判定乙個三角形是否為直角三角形的定理，我們在做題的時候一定要正確區分哪條為直角邊哪條為斜邊.
五、考慮不全面造成漏解
【例5】已知a、b、c為△abc的三邊，且滿足a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷△abc的形狀.
錯解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4 （1）
∴ c2（ a2－b2）＝（ a2＋b2） （a2－b2）（2）
∴ c2＝a2＋b2 （3） ∴ △abc是直角三角形.
錯解分析：本題在由第（2）步到第（3）步的化簡過程中沒有考慮到a2－b2＝0的情況就直接在等式兩邊除以乙個可能為0的數，從而導致了錯誤．
正解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4
∴ c2（ a2－b2）＝（ a2＋b2） （a2－b2）
（1）當a2－b2≠0時，化簡後得c2＝a2＋b2
∴ △abc是直角三角形.
（2）當a2－b2＝0時，a＝b
∴ △abc是等腰三角形.
【反思】本題結合因式分解的知識，綜合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同時還考查了等式的性質2：在等式兩邊不能同時除以乙個可能為0的數，這往往是我們最容易忽視的地方，應引起大家的注意.
六、不能僅憑模糊記憶
【例6】在△abc中，∠a、∠b、∠c的對邊分別為a、b、c，且（a＋b）（a－b）＝c2，則（ ）
a.∠a為直角 b.∠c為直角
c.∠b為直角 d.不是直角三角形
錯解：選b
錯解分析：在解這道題的時候導致錯誤的原因在於對已知條件粗略地分析得出存在平方關係之後就習慣性地認為邊c的對角∠c一定表示直角.該題中的條件應轉化為a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，應根據這一關係進行判斷.
正解：∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2.
∴ a邊所對的角∠ａ為直角. 故選a.
【反思】我們在判斷直角三角形哪乙個角是直角的時候不能因為思維定勢看到數量的平方關係就得到某個角是直角的結論.
七、考慮不全造成漏解
【例7】已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長.
錯解：第三邊長為
錯解剖析：因習慣了「勾三股四弦五」的說法，即意味著兩直角邊為3和4時，斜邊長為5.但這一理解的前提是3、4為直角邊.
而本題中並未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，也可能為直角邊.
正解：（1）當兩直角邊為3和4時，第三邊長為
（2）當斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長為.
八、理解流於形式，造成思維定勢
【例8】已知三角形的三邊為，c=1，這個三角形是直角三角形嗎？
錯解： ∵ a2＝，b2＝，c2＝1，而a2＋b2≠c2，
∴該三角形不是直角三角形.
錯解剖析：雖然a2＋b2≠c2，但不能急於否定這個三角形就不是直角三角形，因為我們發現有a2＋c2＝b2，所以這個三角形是直角三角形.
正解：這個三角形是直角三角形．
九、混淆勾股定理與逆定理
【例9】 在b港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東６0°方向以每小時8海浬的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15海浬的速度前進，2小時後，甲船到m島，乙船到p島，兩島相距34海浬，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？
錯解:甲船航行的距離為bm=8×2＝16（海浬），乙船航行的距離為bp=15×2＝30（海浬）.
∵＝34 （海浬）且mp=34（海浬）
∴△mbp為直角三角形．
∴∠mbp＝90°.
∴乙船是沿著南偏東30°方向航行.
錯解剖析：雖然最終判斷的結果也是對的，但忽略了對使用勾股定理的前提條件的證明，犯了運用上的錯誤.
正解：甲船航行的距離為bm=8×2＝16（海浬），乙船航行的距離為bp=15×2＝30（海浬）.
∵ 162＋302＝1156，342＝1156，
∴ bm2＋bp 2＝mp2.
∴ △mbp為直角三角形.
∴ ∠mbp＝90°.
∴乙船是沿著南偏東30°的方向航行的.
第四節、思維點撥
一、方程思想
【例1】 如圖，在長方形abcd中，dc=5cm，在dc上存在一點e，沿直線ae把△aed摺疊，使點d恰好落在bc邊上，設此點為f，若△abf的面積為30cm2，那麼△aed的面積為______.
【分析與解】 由△abf的面積為30cm2，
可得bf=12cm.
則在rt△abf中，ab=5cm，bf=12cm，
根據勾股定理可知af=13cm.
再由摺疊的性質可知ad=af=13cm.
所以fc=1cm.
可設de=ef=x，則ec=5-x.
在rt△efc中，可得：
12+（5-x）2=x2.
解這個方程，得x=.
所以s△aed=××13=16.9（cm2）.
二、化歸思想
【例2】 如圖，圓柱的軸截面abcd是邊長為4的正方形，動點p從a點出發，沿著圓柱的側面移動到bc的中點s的最短路徑長為（ ）
【分析與解】 求幾何體表面的最短距離，可聯絡我們學過的圓柱體的側面展開圖，化「曲面」為「平面」，再尋找解題的途徑.
如上右圖，可得展開圖中的ab′的長為4π÷2＝2π，b′s′的長為4÷2＝2.
在rt△ab′s′中，根據勾股定理，
得as′=.
所以動點p從a點出發，沿著圓柱的側面移動到bc的中點s的最短路徑長為.故選a.
三、分類討論思想
【例3】 在△abc中，ab=15，ac=20，ad是bc邊上的高，ad=12，試求出bc邊的長.
【分析與解】 此題沒有給出圖示，又由於三角形的高可能在三角形內部也可能在三角形外部，所以其高的位置應分兩種情況來求.如下圖所示，△abc有兩種情況.
當bc邊上的高ad在△abc的內部時，如圖1.
由勾股定理，分別在rt△abd和rt△adc中，得bd2=ab2-ad2=152-122=81，
則bd=9.
cd2=ac2-ad2=202-122=256，
則cd=16.
所以bc=9+16=25.
當bc邊上的高ad在△abc的外部時，如圖2.
同樣由勾股定理可得bd=9，cd=16.
這時bc=16-9=7.
綜上可得bc邊的長為25或7.
勾股定理全章知識點歸納總結
一 基礎知識點 1 勾股定理 直角三角形兩直角邊a b的平方和等於斜邊c的平方。即 a2 b2 c2 要點詮釋 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用 1 已知直角三角形的兩邊求第三邊 在中，則，2 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊 3...
19 9 2 勾股定理 勾股定理的應用
19.9 2 勾股定理 勾股定理的應用 要點歸納 應用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，關注其中是否存在直角三角形。如果存在直角三角形，根據所給的三邊的條件，建立方程，從而使問題解決 如果問題中沒有直角三角形，可以通過新增輔助線構造出直角三角形，尋求定量關係，再根據勾股定理建立相應的方程。...
勾股定理逆定理
教學設計反思 星期四上午第三節講了 勾股定理逆定理 第一課時，課後效果和我預想的一樣，由於 內容偏多，課堂容量大，後半部分感覺倉促，留給學生的思考時間顯得不足。回頭反思，這節課的設計思路比較合理 定理 於生活，服務於生活。我由勾股定理引出一道生活實際問題，引起學生的求知慾，然後和學生分三種方法 得出...