第一講分式的運算
【知識要點】1.分式的概念以及基本性質;
2.與分式運算有關的運算法則
3.分式的化簡求值(通分與約分)
4.冪的運算法則
【主要公式】1.同分母加減法則:
2.異分母加減法則:;
3.分式的乘法與除法:,
4.同底數冪的加減運算法則:實際是合併同類項
5.同底數冪的乘法與除法;am● an =am+n; am÷ an =am－n
6.積的乘方與冪的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn
7.負指數冪: a-p= a0=1
8.乘法公式與因式分解:平方差與完全平方式
(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2
（一）、分式定義及有關題型
題型一：考查分式的定義
【例1】下列代數式中：，是分式的有
題型二：考查分式有意義的條件
【例2】當有何值時，下列分式有意義
（1） （2） （3） （4） （5）
題型三：考查分式的值為0的條件
【例3】當取何值時，下列分式的值為0.
（123）
題型四：考查分式的值為正、負的條件
【例4】（1）當為何值時，分式為正；
（2）當為何值時，分式為負；
（3）當為何值時，分式為非負數.
練習：1．當取何值時，下列分式有意義：
（123）
2．當為何值時，下列分式的值為零：
（12）
3．解下列不等式
（12）
（二）分式的基本性質及有關題型
1．分式的基本性質：
2．分式的變號法則：
題型一：化分數係數、小數係數為整數係數
【例1】不改變分式的值，把分子、分母的係數化為整數.
（12）
題型二：分數的係數變號
【例2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項的符號變為正號.
（123）
題型三：化簡求值題
【例3】已知：，求的值.
【例4】已知：，求的值.
【例5】若，求的值.
練習：1．不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的係數化為整數.
（12）
2．已知：，求的值.
3．已知：，求的值.
4．若，求的值.
5．如果，試化簡.
（三）分式的運算
1．確定最簡公分母的方法：
①最簡公分母的係數，取各分母係數的最小公倍數；
②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪.
2．確定最大公因式的方法：①最大公因式的係數取分子、分母係數的最大公約數；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次冪.
題型一：通分
【例1】將下列各式分別通分.
（12）；
（34）
題型二：約分
【例2】約分：
（1）；（3）；（3）.
題型三：分式的混合運算
【例3】計算：
（12）；
（34）；
（5）；
（6）；
（7）題型四：化簡求值題
【例4】先化簡後求值
（1）已知：，求分子的值；
（2）已知：，求的值；
（3）已知：，試求的值.
題型五：求待定字母的值
【例5】若，試求的值.
練習：1．計算
（12）；
（34）；
（56）；
（7）.
2．先化簡後求值
（1），其中滿足.
（2）已知，求的值.
3．已知：，試求、的值.
4．當為何整數時，代數式的值是整數，並求出這個整數值.
（四）、整數指數冪與科學記數法
題型一：運用整數指數冪計算
【例1】計算：（12）
（34）
題型二：化簡求值題
【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.
題型三：科學記數法的計算
【例3】計算：（1）；（2）.
練習：1．計算：（1）
（2）（3）
（4）2．已知，求（1），（2）的值.
第二講分式方程
【知識要點】1.分式方程的概念以及解法;
2.分式方程產生增根的原因
3.分式方程的應用題
【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知數;
2.解分式方程的關健是化分式方程為整式方程;方程兩邊同乘以最簡公分母.
3.解分式方程的應用題關健是準確地找出等量關係,恰當地設末知數.
（一）分式方程題型分析
題型一：用常規方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
（1）；（2）；（3）；（4）
提示易出錯的幾個問題：①分子不添括號；②漏乘整數項；③約去相同因式至使漏根；④忘記驗根.
題型二：特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
（1）； （2）
提示：（1）換元法，設；（2）裂項法，.
【例3】解下列方程組
題型三：求待定字母的值
【例4】若關於的分式方程有增根，求的值.
【例5】若分式方程的解是正數，求的取值範圍.
提示：且，且.
題型四：解含有字母係數的方程
【例6】解關於的方程
提示：（1）是已知數；（2）.
題型五：列分式方程解應用題
練習：1．解下列方程：
（12）；
（34）
（56）
（7）2．解關於的方程：
（1）；（2）.
3．如果解關於的方程會產生增根，求的值.
4．當為何值時，關於的方程的解為非負數.
5．已知關於的分式方程無解，試求的值.
（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程轉化為整式方程，通常的方法是去分母，並且要檢驗，但對一些特殊的分式方程，可根據其特徵，採取靈活的方法求解，現舉例如下：
一、交叉相乘法
例1．解方程：
二、化歸法
例2．解方程：
三、左邊通分法
例3：解方程：
四、分子對等法
例4．解方程：
五、觀察比較法
例5．解方程：
六、分離常數法
例6．解方程：
七、分組通分法
例7．解方程：
（三）分式方程求待定字母值的方法
例1．若分式方程無解，求的值。
例2．若關於的方程不會產生增根，求的值。
例3．若關於分式方程有增根，求的值。
例4．若關於的方程有增根，求的值。
第十六章分式知識點和典型例習題
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