精銳教育名師大講堂講義
初一數學 「全等三角形」的解題方法與技巧
● 學習要求
1．了解全等三角形的概念，掌握兩個三角形全等的性質；
2．掌握兩個三角形全等的判定定理；
● 方法點撥
考點1：全等形的概念
1．幾何中，我們把上述所例舉的「一模一樣」的圖形叫做「全等形」，以下是描述全等形的三種不同的說法，你認為哪種說法是恰當的？
（l）形狀相同的兩個圖形叫全等形；（2）大小相等的兩個圖形叫全等形；
（3）能夠完全重合的兩個圖形叫全等形．
2．如圖中有6個條形方格圖，圖中有哪些實線圍成的圖形是全等的？
3．全等三角形又叫合同三角形，平面內的合同三角形分為真正合同三角形和鏡面合同三角形．假設△abc和△a1b1c1是全等（合同）三角形，且點a與a1對應，點b與b1對應，點c與c1對應，當沿周界a→b→c→a及a1→b1→c1→a1環繞時，若運動方向相同，則稱它們是真正合同三角形（如圖）；若運動方向相反，則稱它們是鏡面合同三角形,如圖:
兩個真正合同三角形，都可以在平面內通過平移或旋轉使它們重合；而兩個鏡面合同三角形要重合，則必須將其中的乙個翻轉180°，在下圖中的各組合三角形中，是鏡面合同三角形的是（ ）
4．在如圖的網格中畫△def和△deg（f與g不得重合），使得△abc≌△def≌△deg．
考點2：兩個三角形全等的性質
1．圖中所示的是兩個全等的五邊形，指出它們的對應頂點、對應邊與對應角並說出圖中標的a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值．
變式演練：如圖所示的是三個全等的四邊形，請指出它們的對應頂點、對應邊與對應角，並寫出圖中標的a，b，c，d，α，β，γ各字母所表示的值．
2． 如果兩個三角形全等,則不正確的是（ ）
a．它們的最小角相等b．它們的對應外角相等；
c．它們是直角三角形d．它們的最長邊相等．
3．如圖，繞點逆時針旋轉到的位置，已知，則等於（ ）
考點3：兩個三角形全等的判定
1．如圖，在△abc與△def中，給出以下六個條件中（1）ab＝de（2）bc＝ef（3）ac＝df （4）∠a＝∠d（5）∠b＝∠e（6）∠c＝∠f，以其中三個作為已知條件，不能判斷△abc與△def全等的是（ ）
ａ．（1）（5）（2）； ｂ．（1）（2）（3）；
ｃ．（4）（6）（1）； ｄ．（2）（3）（4）
2. 如圖所示，在△abc和△dcb中，ab＝dc，要使△abo≌△dco，請你補充條件只要填寫乙個你認為合適的條件）．
3.如圖，四邊形中，垂直平分於點．
（1）圖中有多少對全等三角形？請把它們都寫出來；
（2）任選（1）中的一對全等三角形說明理由．
變式演練：如圖，已知，，，請問圖中有哪幾對全等三角形？並任選其中一對說明理由．
4．已知：如圖，，．
（1）相等嗎？為什麼？；
（2）相等嗎？為什麼？
5．我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等．那麼在什麼情況下，它們會全等？
（1）閱讀與證明：
對於這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等．
對於這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（證明略）．
對於這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：
已知：，均為銳角三角形，，，．
求證：．
（請你將下列證明過程補充完整．）
證明：分別過點作於，於，
則，，，，．
（2）歸納與敘述：由（1）可得到乙個正確結論，請你寫出這個結論．
6．如圖，在△abc和△def中，d，e，c，f在同一直線上，下面有四個條件，請你在其中選3個作為題設，餘下的1個作為結論，寫乙個真命題，並說明理由．
①ab＝de，②ac＝df，③∠abc＝∠def，④be＝cf．
已知：求證：
證明：變式演練：如圖和中，，點在同一直線上，有如下三個關係式：①；②；③
（1） 請用其中兩個關係式作為條件，另乙個作
為結論，寫出所有你認為正確的命題．（用序號寫出命
題書寫形式，如：如果、，那麼）
（2） 選擇（1）中你寫出的乙個命題，說明它正
確的理由．
7．在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，直線mn經過點c，且ad⊥mn於d，be⊥mn於e．
（1）當直線mn繞點c旋轉到圖1的位置時，求證：①△adc≌△ceb；②de=ad＋be；
（2）當直線mn繞點c旋轉到圖2的位置時，求證：de=ad－be；
（3）當直線mn繞點c旋轉到圖3的位置時，試問de，ad，be具有怎樣的等量關係？請寫出這個等量關係，並加以證明．
8．七年級（1）班同學到野外上數學活動課，為測量池塘兩端a、b的距離，設計了如下方案：
（ⅰ）如圖1，先在平地上取乙個可直接到達a、b的點c，連線ac、bc，並分別延長ac至d，bc至e，使dc=ac，ec=bc，最後測出de的距離即為ab的長；
（ⅱ）如圖2，先過b點作ab的垂線bf，再在bf上取c、d兩點使bc=cd，接著過d作bd的垂線de，交ac的延長線於e，則測出de的長即為ab的距離.
（圖1圖2）
閱讀後回答下列問題：
（1）方案（ⅰ）是否可行？請說明理由．
（2）方案（ⅱ）是否可行？請說明理由．
（3）方案（ⅱ）中作bf⊥ab，ed⊥bf的目的是若僅滿足∠abd=∠bde≠90°，方案（ⅱ）是否成立
變式演練：1．有一專用三角形模具，損壞後，只剩下
如圖中的陰影部分，你對圖中做哪些資料度量後，
就可以重新製作一塊與原模具完全一樣的模具，並
說明其中的道理．
2．如圖，將兩根鋼條aa'、bb'的中點o連在一起，使aa'、bb'可以繞著點o自由轉動，就做成了乙個測量工件，則a' b'的長等於內槽寬ab，那麼判定△oab≌△oab的理由是（ ）
a．邊角邊； b．角邊角；
c．邊邊邊； d．角角邊
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