一、「轉化」思想
「轉化」思想就是將複雜的、陌生的問題遷移為簡單的、熟悉的問題進行求解,這是學習新知識,研究新問題的一種基本方法.本章中二元一次方程組的解法的實質就是借助「消元」(加減消元和代入消元是兩種最常見的消元方法)的方法將「二元」轉化為「一元」.
例1:解方程組
分析1:由於①中x係數為1,可將①變形為x=-2y-2③,然後將③代入②,消去x,得到關於y的一元一次方程.從中求出y,然後將y代入③中求x.
解法1:由①得x=-2y-2, ③
③代入②中得7(-2y-2)-4y=-41,y=.
將y=代入③中得x=-5.∴
說明:本題通過「代入」達到消元的目的,將解二元一次方程組的問題轉化為解一元一次方程的問題.
分析2:①和②中y的符號相反,且係數成2倍關係,故將①×2+②可消去y.
解法2:①×2+②得9x=-45,x=-5.
將x=-5代入①中得y=.∴
說明:本題通過「加減消元」,同樣將解二元一次方程組的問題轉化為解一元一次方程的問題.
例2:已知與是同類項,求m、n的值.
分析:同類項要求相同字母的指數相同,故有解這個方程組可求得m、n.
解:依題意有解得
說明:本題運用了轉化的思想.第一,根據同類項的意義,將求解問題轉化為解關於m、n的二元一次方程組的問題.
第二,運用「消元」的方法,將解二元一次方程組問題轉化為解一元一次方程問題,當然本題還運用了方程的思想.
二、方程的思想
將數量關係轉化為方程(組)的形式,通過解方程(組)使問題得以解決的思維形式就是方程的思想,本章中有關計算和解決有關應用題所運用這種思想。用方程的思想解決往往比用其它方法簡捷、方便得多。
例3:古代有這樣乙個寓言故事:驢子和騾子一同走,它們馱著不同袋數的貨物,每袋貨物都是一樣重的.
驢子抱怨負擔太重,騾子說:「你抱怨幹嗎?如果你給我一袋,那我所負擔的就是你的兩倍;如果我給你一袋,我們才恰好馱的一樣多!
」那麼驢子原來所託貨物的袋數是( )
a.5 b.6 c.7 d.8
分析:此題中有兩個未知量——驢子和騾子各馱的貨物的袋數.
問題中有兩個等量關係:⑴騾子馱袋數+1袋=2(驢子馱的袋數-1袋);⑵騾子馱袋數-1袋=驢子馱的袋數+1袋.
解:設驢子馱x袋,騾子馱y袋,根據題意, 得
解這個方程組,得
答:驢子馱5袋,騾子馱7袋.故選a.
說明:列方程(組)解應用題是方程思想在數學中的最典型、最基本的體現,也是方程思想反映的最常見的題型,是中考必考查的考點.
三、整體思想
當乙個問題中未知數較多,乙個乙個求解比較複雜,或有時不能求解時,可將其中滿足某一共同特性的某乙個固定代數式看作乙個整體,在運算和求解時整體參與,這樣有時可使運算簡捷,這種方法是整體思想的體現,本章解方程組時有時也需用到這種思想和方法.
例4:某班春遊,上午8時從學校出發,先沿平路到山腳下,再爬到山頂,在山頂停留1個半小時,沿原路返回學校時已是下午3時30分,已知平路每小時行4千公尺,上山速度是平路的,下山速度是上山的2倍,求所行全程.
分析:設全程中平路為2x千公尺,上、下山路各為y千公尺,則平路所用的時間為小時,上山時間為小時,下山時間為小時,而總時間為15.5-8-1.5=6小時,得到方程
++=6.從而求解.
解:設全程中平路為2x千公尺,上、下山路各為y千公尺,依題意有++=6.
6x+2y+4y=72,所以2x+2y=24.
答:全程為24千公尺.
四、數形結合的思想
例5:小明在拼圖時,發現8個一樣大小的長方形恰好可以拼成乙個大的長方形,如圖1所示,小紅看見了,說:「我來試一試」.
結果小紅其拼八湊,拼成如圖2所示的正方形,怎麼中間還留下乙個洞,恰好是邊長為2mm的小正方形!你能算出每個長方形的長和寬是多少嗎?
分析:本題有兩個未知量——長方形的長與寬.觀察圖形得到兩個等量關係:由圖1得:長的3倍等於寬的5倍;由圖2得:長的2倍+2=長+寬的2倍.
解:設長方形的長為xmm,寬為ymm,根據題意,得
整理,得解得
答:這些小長方形的長為10mm,寬為6mm.
說明:本題巧妙地運用了兩個拼圖,建立起小長方形的長與寬的關係,它體現了數與形之間的相互關係,打破了用語言描述兩個量之間關係的常規,滲透了數形結合的數學思想.
例6:如圖3,在長方形abcd中,ab=8cm,bc=6cm且△bec的面積比△def的面積大5,求的df長.
分析:本題是數形結合題,未知數只有乙個,若直接設df的長為x,不易找出等量關係,可以分步來解,如設△bec的面積為x,△def的面積為y,梯形abcd的面積為z,則有從中求出△abf的面積y+z=43,再求df就容易了.
解: 設△bec的面積為x,△def的面積為y,梯形abcd的面積為z,
梯形的面積為
依題意,得
②-①得y+z=43,
即△sbf的面積為43.
設df的長為a,
有答:的長為
注意:⑴本題綜合性較強涉及到的知識有三角形的面積、長方形的面積、看圖識圖、列方程等.⑵本題解方程組有一定的技巧,要求整體求解.
⑶解題思路超出常規,要求我們認真理解題意,努力探索解題方法.
七、「換元」思想
換元法在初中代數中的應用非常廣泛,它通過用乙個字母表示乙個整體進行變數替換,將形式簡化,將問題轉化,從而起到化繁為簡,花隱為顯,化難為易的目的,本章中呈現形式較複雜的一些方程組的解法多採用這種方法。
例7:解方程組
解:設,
則原方程組變為
①+②×9得17u=68,u=4.
將u=4代入②中得v=2.
∴解得說明:本題借助換元的方法,將複雜的方程組轉化為簡單的方程組來解決.
《二元一次方程組》蘊涵的數學思想方法
a 5 b 6 c 7 d 8 分析 此題中有兩個未知量 驢子和騾子各馱的貨物的袋數.問題中有兩個等量關係 騾子馱袋數 1袋 2 驢子馱的袋數 1袋 騾子馱袋數 1袋 驢子馱的袋數 1袋.解 設驢子馱x袋,騾子馱y袋,根據題意,得 解這個方程組,得 答 驢子馱5袋,騾子馱7袋.故選a 說明 列方程 ...
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1 方程組的解是 a b c d 2 設方程組的解是那麼的值分別為 a b cd 3 在等式中,當時,a 23b 13c 5d 13 4 關於關於的方程組的解也是二元一次方程的解,則的值是 a 0b 1c 2d 5 方程組,消去後得到的方程是 ab cd 6 二元一次方程4x 3y 12,當x 0,...
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