《二元一次方程組》蘊涵的數學思想方法

a．5 b．6 c．7 d．8

分析：此題中有兩個未知量——驢子和騾子各馱的貨物的袋數.

問題中有兩個等量關係：⑴騾子馱袋數+1袋=2（驢子馱的袋數-1袋）;⑵騾子馱袋數-1袋=驢子馱的袋數+1袋.

解:設驢子馱x袋,騾子馱y袋,根據題意, 得

解這個方程組,得

答:驢子馱5袋,騾子馱7袋.故選a．

說明：列方程（組）解應用題是方程思想在數學中的最典型、最基本的體現，也是方程思想反映的最常見的題型，是中考必考查的考點.

三、整體思想

當乙個問題中未知數較多，乙個乙個求解比較複雜，或有時不能求解時，可將其中滿足某一共同特性的某乙個固定代數式看作乙個整體，在運算和求解時整體參與，這樣有時可使運算簡捷，這種方法是整體思想的體現，本章解方程組時有時也需用到這種思想和方法.

例4：某班春遊，上午8時從學校出發，先沿平路到山腳下，再爬到山頂，在山頂停留1個半小時，沿原路返回學校時已是下午3時30分，已知平路每小時行4千公尺，上山速度是平路的，下山速度是上山的2倍，求所行全程.

分析：設全程中平路為2x千公尺，上、下山路各為y千公尺，則平路所用的時間為小時，上山時間為小時，下山時間為小時，而總時間為15.5-8-1.5=6小時，得到方程

++=6.從而求解.

解：設全程中平路為2x千公尺，上、下山路各為y千公尺，依題意有++=6.

6x+2y+4y=72,所以2x+2y=24.

答：全程為24千公尺.

四、數形結合的思想

例5：小明在拼圖時，發現8個一樣大小的長方形恰好可以拼成乙個大的長方形，如圖1所示，小紅看見了，說：「我來試一試」.

結果小紅其拼八湊,拼成如圖2所示的正方形,怎麼中間還留下乙個洞,恰好是邊長為2mm的小正方形!你能算出每個長方形的長和寬是多少嗎?

分析:本題有兩個未知量——長方形的長與寬.觀察圖形得到兩個等量關係:由圖1得:長的3倍等於寬的5倍;由圖2得:長的2倍+2=長+寬的2倍.

解:設長方形的長為xmm,寬為ymm,根據題意,得

整理,得解得

答:這些小長方形的長為10mm,寬為6mm.

說明:本題巧妙地運用了兩個拼圖,建立起小長方形的長與寬的關係,它體現了數與形之間的相互關係,打破了用語言描述兩個量之間關係的常規,滲透了數形結合的數學思想.

例6:如圖3,在長方形abcd中,ab=8cm，bc=6cm且△bec的面積比△def的面積大5,求的df長.

分析:本題是數形結合題,未知數只有乙個,若直接設df的長為x,不易找出等量關係,可以分步來解,如設△bec的面積為x,△def的面積為y,梯形abcd的面積為z，則有從中求出△abf的面積y+z=43，再求df就容易了.

解: 設△bec的面積為x,△def的面積為y,梯形abcd的面積為z，

梯形的面積為

依題意,得

②-①得y+z=43，

即△sbf的面積為43.

設df的長為a,

有答:的長為

注意:⑴本題綜合性較強涉及到的知識有三角形的面積、長方形的面積、看圖識圖、列方程等.⑵本題解方程組有一定的技巧，要求整體求解.

⑶解題思路超出常規，要求我們認真理解題意，努力探索解題方法.

七、「換元」思想

換元法在初中代數中的應用非常廣泛，它通過用乙個字母表示乙個整體進行變數替換，將形式簡化，將問題轉化，從而起到化繁為簡，花隱為顯，化難為易的目的，本章中呈現形式較複雜的一些方程組的解法多採用這種方法。

例7：解方程組

解：設，

則原方程組變為

①+②×9得17u=68，u=4.

將u=4代入②中得v=2.

∴解得說明:本題借助換元的方法,將複雜的方程組轉化為簡單的方程組來解決.