例1求函式y=的值域
解：∵2x2+2x+1=2(x+)2+>0
∴函式的定義域為r，
將原函式等價變形為（2y-1）x2+(2y+2)x+y+3=0,
我認為在此後應加上：關於x的方程（2y-1）x2+(2y+2)x+y+3=0有實數解
例2求函式y=的值域
解：由x2+x-6≠0得x≠2,x≠-3
∴函式的定義域為
由原函式變形得：（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0
我認為在此之後應加上：關於x的方程（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0有實數根且至少有一根不為2且不為-3
例1及例2也需要作此修正，本人認為，這些文字說明對於整個題目的解題過程起著統帥作用，同時也暴露出作者的思維過程，不能略去。
思考之二：對於形如y=中分子分母都有公因式的處理方法
中處理方法是要驗證△=0時對應的y值，該文中是這樣的說明的：由於函式變形為方程時不是等價轉化，故在考慮判別式的同時，還需對△=0進行檢驗，若對應的自變數在函式的定義域內，則y值在值域內，否則捨去。
但在文2中例2中第2小題並沒有對△=0進行檢驗，得出正確結果，這就使讀者很困惑，究竟什麼情況要檢驗，什麼情況不進行檢驗呢？
我認為有關形如y=中分子分母都有公因式的處理方法第一種可以按例2中約去公因式的方法，這已經不是判別式法的範圍之內，不在討論之列，第二種處理方法仍然用判別式法，只不過在例1的解法基礎上稍加改動即可，例3 求函式求函式y=的值域
解：由x2+x-6≠0得x≠2,x≠-3
∴函式的定義域為
由原函式變形得：（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0
我認為在此之後應加上：關於x的方程（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0有實數根且至少有一根不為2且不為-3
（1）當y=1時，代入方程求得x= -3,而x≠-3，因此y≠1
（2）當y≠1時關於x的方程（y-1）x2+(y-4)x-6y-3=0為一元二次方程，可以驗證x=-3為該方程的根，x=2不是該方程的根，因此只有兩個根都為-3時不滿足題意，其餘都符合題意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y≠
由上可知：原函式的值域為
上述作題步驟也適用於分子分母沒有公因式的情況，
例4 求函式y=的值域
解：由已知得x≠-1且x≠3,將原函式化為（y-1）x2-(2y-1)x-3y-1=0
由題意得關於x的方程（y-1）x2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不為3和-1
（1）當y=1時，x= -4，∴y可以取1
（2）當y≠1時，關於x的方程（y-1）x2-(2y-1)x-3y-1=0為一元二次方程，
顯然可以驗證x=3和x= -1不是該方程的解
因此只需△≥0即可，以下過程略
思考之三：該方法的適用範圍不僅適用於分式形式，對於二次函式同樣適用，
如：求函式y=x2-3x+5的值域
解：由已知得關於x的方程x2-3x+5-y=0有實數解,因此△≥0即（-3）2-4（5-y）≥0
∴y≥∴所求函式的值域為
練習： 求函式的值域。
錯解原式變形為 （*）
∵，∴，解得。
故所求函式的值域是
分析把代入方程（*）顯然無解，因此不在函式的值域內。事實上，時，方程（*）的二次項係數為0，顯然用「」來判定其根的存在情況是不正確的，因此要注意判別式存在的前提條件，即需對二次方程的二次項係數加以討論。
正解原式變形為
（1）當時，方程（*）無解；
（2）當時，∵，∴，解得。
由（1）、（2）得，此函式的值域為
例5 求函式的值域。
錯解移項平方得：，
由解得，則原函式的值域是.
分析由於平方得，這種變形不是等價變形，實際上擴大了的取值範圍，如果從原函式定義域，那麼，顯然是錯誤的。
正解令，則t0，得， ，
又0， ，
故原函式的值域為
例6 求函式的值域
錯解令，則，∴，由及得值域為。
分析解法中忽視了新變元滿足條件。
正解設，，，
。故函式得值域為。
當用分子分母有公因式時，不能轉化為二次方程再用判別式法，而應先約去公因式
例7 求函式的值域
錯解，即---------
當，即時，由得（捨去），；
當即時，得, 。
綜上可述，原函式的值域為。
分析事實上，當，即=時，解得，而當時原函式沒有意義，故。錯誤的原因在於，當時， 的值為零，所以是方程的根，但它不屬於原函式的定義域，所以方程與方程不同解，故函式不能轉化為二次方程，用二次方程的理論行不通。
正解原函式可化為== ，即,
，且故原函式的值域為。
求函式值域的方法
基本函式的值域 一次函式的值域為r.二次函式，當時的值域為，當時的值域為.反比例函式的值域為.指數函式的值域為.對數函式的值域為r.正 余弦函式的值域為，正切函式的值域為r.求函式值域 最值 的常用方法 一 觀察法 例1.求函式的值域。解析 由 故此函式值域為 評注 此方法適用於解答選擇題和填空題 ...
求函式值域的幾種方法用
常用函式的值域，這是求其他複雜函式值域的基礎。1.函式的值域為r 2.二次函式當時值域是 當時值域是 3.反比例函式的值域為 4.指數函式的值域為 5.對數函式的值域為r 6.函式的值域為 1，1 函式,的值域為r 一觀察法 觀察法是最簡單的求函式值域的方法,此法適用於那些形式比較簡單的函式 例1求...
求函式值域的常用方法
在函式的三要素中，對於如何求函式的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經常出現，占有一定的地位，若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。1 直接觀察法 對於一些比較簡單的函式，其值域可通過觀察得到。例1 求函式y 3 的值域。解 0 0 3...