題型一：求週期問題
【例1】 已知是定義在上的函式，且，則（ ）
a. 週期為20的奇函式b. 週期為20的偶函式
c. 週期為40的奇函式d. 週期為40的偶函式
【例2】 求函式的最小正週期
【例3】 定義在上的函式滿足，且函式為奇函式．給出以下3個命題：
①函式的週期是6；
②函式的圖象關於點對稱；
③函式的圖象關於軸對稱，其中，真命題的個數是（ ）．
a．3b．2c．1d．0
【例4】 若y=f(2x)的影象關於直線和對稱，則f(x)的乙個週期為（ ）
abcd．
【例5】 已知函式對於任意，都有，且．
⑴求證：為偶函式；
⑵若存在正數m使得，求滿足的1個t值（t≠0）．
【例6】 設是定義在r上的偶函式，其圖象關於直線對稱．且對任意，都有，．
⑴求及；
⑵證明是週期函式；
題型二：求值問題
【例7】 已知定義在上的函式的圖象關於點成中心對稱圖形，且滿足，，．那麼，的值是（ ）
a．1b．2cd．
【例8】 （2005天津卷）設f(x)是定義在r上的奇函式，且的圖象關於直線對稱，則f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0
【例9】 （2023年安徽卷理）函式對於任意實數滿足條件，若則
【例10】 (2023年山東卷）已知定義在r上的奇函式f(x)滿足f(x+2)=－f(x),則,f(6)的值為 ( )
(a)－1b) 0c) 1d)2
【例11】 （1996全國，15）設是上的奇函式，，當0≤x≤1時，，則f（7.5）等於（ ）
a.0.5b.－0.5c.1.5d.－1.5
【例12】 已知函式f(x)的定義域為n，且對任意正整數x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)
【例13】 函式在上有意義，且滿足：⑴是偶函式；⑵；⑶是奇函式，求．
【例14】 是定義在r上的函式，對任意的x∈r，都有和，設，
⑴求證是週期函式；
⑵如果f（998）=1002，求f（2000）的值．
【例15】 數列中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈n＋)
①求a100；
②求s100.
題型三：其他綜合問題
【例16】 （2006福建卷）已知是週期為2的奇函式，當時，設則
（a） （b） （c） （d）
【例17】 （2005福建卷是定義在r上的以3為週期的偶函式，且，則方程=0在區間（0，6）內解的個數的最小值是
a．5b．4c．3d．2
【例18】 已知函式是定義在上的週期函式，週期，函式是奇函式又知在上是一次函式，在上是二次函式，且在時函式取得最小值。
①證明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式。
【例19】 （05廣東卷）設函式在上滿足，，且在閉區間［0，7］上，只有．
（ⅰ）試判斷函式的奇偶性；
（ⅱ）試求方程=0在閉區間［-2005，2005］上的根的個數，並證明你的結論．
【例20】 對每乙個實數對x,y,函式f(t)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,試求滿足f(a)＝a的所有整數a.
【例21】 已知為定義在區間，上以2為週期的函式，對，用表示區間，，已知時，．
⑴求在上的解析式；
⑵對自然數k，求集合使方程在上有兩個不相等的實根．
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