⊙熱點一：圖象資訊題
1．如圖z76，二次函式y＝－x2－2x的圖象與x軸交於點a，o，在拋物線上有一點p，滿足s△aop＝3，則點p的座標是( )
圖z76
a．(－3，－3)
b．(1，－3)
c．(－3，－3)或(－3,1)
d．(－3，－3)或(1，－3)
2．(2023年廣西欽州)如圖z77，正比例函式y＝x與反比例函式y＝的圖象交於a(2,2)，b(－2，－2)兩點．當y＝x的函式值大於y＝的函式值時，x的取值範圍是( )
a．x＞2b．x＜－2
c．－2＜x＜0或0＜x＜2 d．－2＜x＜0或x＞2
圖z77 圖z78
3．(2023年山東濟南)如圖z78，直線y＝－x＋2與x軸，y軸分別交於a，b兩點，把△aob沿著直線ab翻摺後得到△ao′b，則點o′的座標是( )
a．(，3) b．(，)
c．(2,2) d．(2，4)
⊙熱點二：代數幾何綜合題
1．(2023年廣東)如圖z79，拋物線y＝x2－x－9與x軸交於a，b兩點，與y軸交於點c，連線bc，ac.
(1)求ab和oc的長；
(2)點e從點a出發，沿x軸向點b運動(點e與點a，b不重合)，過點e作直線l平行bc，交ac於點d.設ae的長為m，△ade的面積為s，求s關於m的函式關係式，並寫出自變數m的取值範圍；
(3)在(2)的條件下，連線ce，求△cde面積的最大值．此時，求出以點e為圓心，與bc相切的圓的面積(結果保留π)．
圖z79
2．(2023年四川資陽節選)如圖z710，四邊形abcd是平行四邊形，過點a，c，d作拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，與x軸的另一交點為e，連線ce，點a，b，d的座標分別為 (－2,0)，(3,0)，(0,4)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)已知拋物線的對稱軸l交x軸於點f，交線段cd於點k，點m，n分別是直線l和x軸上的動點，連線mn.當線段mn恰好被bc垂直平分時，求點n的座標．
圖z710
⊙熱點三：函式探索開放題
(2023年四川雅安)如圖z711(1)，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過a(－3,0)，b(1,0)，c(0,3)三點，其頂點為d，對稱軸是直線l，l與x軸交於點h.
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點p是該拋物線對稱軸l上的乙個動點，求△pbc周長的最小值；
(3)如圖z711(2)，若e是線段ad上的乙個動點(e與a，d不重合)，過點e作平行於y軸的直線，交拋物線於點f，交x軸於點g.設點e的橫座標為m，△adf的面積為s.
①求s與m的函式關係式；
②s是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點e的座標； 若不存在，請說明理由．
(12)
圖z711
專題七函式與圖象
【提公升·專項訓練】
熱點一1．d
3．a 解析：連線oo′，由直線y＝－x＋2知，ob＝2，oa＝2，故∠bao＝30°.點o′為點o關於直線ab的對稱點，故∠o′ao＝60°，即△aoo′是等邊三角形．點o′的橫座標是oa長度的一半，即為，縱座標則是△aoo′的高，即為3.
故選a.
熱點二1．解：(1)當y＝0時， x2－x－9＝0.
圖102
解得x1＝6，x2＝－3.
∴點a的座標為(－3,0)，
點b的座標為(6,0)．
∴ab＝6－(－3)＝9.
∵當x＝0時，y＝－9，
∴點c的座標為(0，－9)．
∴oc＝|－9|＝9.
(2)∵l∥bc，∴△ade∽△acb.
∴＝2.
∵s△acb＝ab·oc＝×9×9＝，
∴s△ade＝2×＝m2.
∴s＝m2(0(3)∵s△aec＝ae·oc＝m×9＝m，
∴s△cde＝s△aec－s△ade＝m－m2
＝－2＋.
∵0解法一，此時，be＝ab－ae＝9－＝.
如圖102，記⊙e與bc相切於點m，連線em，則em⊥bc.
設⊙e的半徑為r.
在rt△boc中，bc＝＝＝.
∵∠cbo＝∠ebm，∠cob＝∠emb＝90°，
∴△boc∽△bme.∴＝.∴＝.
∴r＝.∴⊙e的面積為：π2＝π.
解法二，此時，be＝ab－ae＝9－＝.
∵be＝ab，∴s△ebc＝s△abc＝.
記⊙e與bc相切於點m，連線em，則em⊥bc，
設⊙e的半徑為r.
在rt△boc中，bc＝＝＝.
∵s△ebc＝bc·em，∴×r＝.
∴r＝.∴⊙e的面積為：π2＝π.
2．解：(1)∵點a，b，d的座標分別為(－2,0)，(3,0)，(0,4)，且四邊形abcd是平行四邊形，
∴ab＝cd＝5，∴點c的座標為(5,4)．
∵點a，c，d在拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上，
∴解得故拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋4.
(2)如圖103，連線bd交對稱軸於g，在rt△obd中，易求bd＝5.∴cd＝bd，則∠dcb＝∠dbc.
圖103
又∵∠dcb＝∠cbe，∴∠dbc＝∠cbe.
過g作gh⊥bc於h，交x軸於n，
易證gh＝hn.∴點g與點m重合．
故直線bd的解析式為y＝－x＋4.
根據拋物線可知，對稱軸方程為x＝.
則點m的座標為，即gf＝，bf＝.
∴bm＝＝.
又∵mn被bc垂直平分，∴bm＝bn＝.
∴點n的座標為.
熱點三解：(1)由題意，得解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.
(2)∵△pbc的周長為pb＋pc＋bc，
∵bc是定值，∴當pb＋pc最小時，△pbc的周長最小．
∵點a，點b關於對稱軸l對稱，
∴連線ac交l於點p，即點p為所求的點(如圖104)．
圖104
∵ap＝bp，
∴△pbc的最小周長是
pb＋pc＋bc＝ac＋bc.
∵a(－3,0)，b(1,0)，c(0,3)，
∴ac＝3，bc＝.
故△pbc周長的最小值為
3＋.(3)①∵拋物線y＝－x2－2x＋3頂點d的座標為(－1,4)，a(－3,0)，
∴直線ad的解析式為y＝2x＋6.
∵點e的橫座標為m，
∴e(m,2m＋6)，f(m，－m2－2m＋3)．
∴ef＝－m2－2m＋3－(2m＋6)＝－m2－4m－3，
ah＝ab＝×4＝2.
∴s＝s△def＋s△aef＝ef·gh＋ef·ag
＝ef·ah＝(－m2－4m－3)×2＝－m2－4m－3.
②存在．∵s＝－m2－4m－3＝－(m＋2)2＋1.
∴當m＝－2時，s最大，最大值為1.
此時，點e的座標為(－2,2)．
函式的圖象與性質
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