函式1. 函式、影象
知識概要
函式是兩個數集間的對應關係，這個對應必須使非空數集a中任一元素在b中都有唯一元素和它對應。a叫定義域，c=叫值域。
定義域、值域、對應法則是函式的三要素。
（一） .定義域求法
1.使解析式有意義； 2.幾個式子組合的解析式，必須都有意義；
3.實際問題要有實際。
(二).值域求法
根據表示式形式的不同，值域求法也不同，常用方法有：
1. 配方法。用於二次式，或可換元為二次式的函式，換元成的二次函式要注意新變數的取值範圍。
2.利用函式的單調性. 對熟悉的函式，可由單調性或結合影象求值域。
3.反解法，由y=f(x)反解出x=g(y),求出使g(y)有意義的y的取值範圍即為值域
4.判別式法，若y=f(x)可化為x的二次方程，由δ≥0可得值域。若x在某個區間有解，則需結合影象按實根分布討論。
5.換元法，複雜的函式式可把其中某個式子設為新變數，要注意新變數的取值範圍。
6.利用基本不等式，要注意取等號的條件。
(三).求解析式、對應法則，就是尋求 y與x的等量關係
(四).函式y=f（x）的影象.是由座標為（x，f（x））的點構成的圖形。
函式影象的幾種變換：
平移變換：可得y=f(x+k), y=f(x)+h, y=f(x+k)+h的影象；
對稱變換：可得y=-f(x),y=f(-x),y=-f(-x),y=f-1(x),y=|f(x)|,y=f(|x|)的影象。
（五）基本思想方法。
1.數形結合；利用函式影象、幾何圖形、數軸等圖形的直觀性分析解題,有助於尋找解題思路,可避免繁瑣的計算。
2.分類討論；不能一概而論就分開說，要明確分類標誌，做到不重不漏。
例題研究：
例1.已知函式y=f(x)的定義域為[-1，1]，求y=f(ax)+f(x/a)，（a>0）的定義域.
例2.函式的定義域用d表示，求使f(x)>0對於任何x∈d均成立的實數k的集合
分析 ：所給問題的實質是當k是哪些實數時，函式值恆正，更具體地，即求當k取哪些值時，分子分母同號.而分子、分母都可以看成是二次函式，於是利用二次函式的有關知識來解。
例3.求值域
表示數軸上點p（x）到點a（-1）、b（-2）、c（-3）的距離之和，可知當點p落在b點時，達到取小值2，故值域為[2，+∞）.
一般地，若 x1f(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn| 取最小值 。若 n是偶數，則點p落在中間兩點之間時f(x)取最小值。
如果x的係數不全是1，則不能用法1，只能用法2.
例5．定義在正整數集上的函式f(n)滿足
思路分析
例6.討論關於x的方程
思路分析：把方程的解的問題轉化為研究函式y= 與函式y=kx影象交點個數問題。
例7.設函式f（x）的定義域是n+，求f（x）使它滿足條件：
（1）f (m+n)=f(m)+f(n)+mn; (2)f(1)=1.
分析：∵對任意自然數都成立，∴可以任意賦值，取m=1得
f(n+1)=f(n)+n+1,發現實質是數列問題。
略解：令m=1得f(n+1)=f(n)+n+1,即f(n+1)-f(n)=n+1.
用累加法可得
驗知對任意m,n∈n+，（1）都成立
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